一、 PCA算法

PCA(principal component analysis)是一種應(yīng)用廣泛的降維算法，其基本思想是想通過(guò)找到一個(gè)低維的“最具有代表性”的方向，并將原數(shù)據(jù)映射到這個(gè)低維空間中去，從而實(shí)現(xiàn)數(shù)據(jù)的降維。

1. 算法原理

??我們先從二維數(shù)據(jù)簡(jiǎn)單說(shuō)明，假設(shè)我們有n個(gè)二維數(shù)據(jù)組成的數(shù)據(jù)集\(D_{n\times 2}\)(如圖)，現(xiàn)在我們想要將其映射到一維空間，并且我們的目的是盡可能保留信息。那問(wèn)題是如何尋找這個(gè)主方向？假設(shè)我們的原數(shù)據(jù)集為\(X_{n\times m}\)(n為數(shù)據(jù)維度，m為數(shù)據(jù)個(gè)數(shù))，那么上述問(wèn)題就等價(jià)表述為：找到一個(gè)變換矩陣，將X從高維空間映射到低維空間中去，即：

圖1. 二維PCA降維示意圖（由于技術(shù)限制，本圖映射并沒(méi)有遵循投影規(guī)則）

??我們首先先確定我們的優(yōu)化目標(biāo)，即什么情況下的映射能盡可能保留我們數(shù)據(jù)的信息，又或者說(shuō)映射成的數(shù)據(jù)\(Y\)要滿足什么條件？

1. redundancy (冗余)

??假設(shè)在一個(gè)二維數(shù)據(jù)中，是否所有維度都應(yīng)該保留？在圖2中，我們對(duì)于幾組不同的數(shù)據(jù)，很明顯能看出，左側(cè)圖中\(r_{1},r_{2}\)兩個(gè)維度相關(guān)性較弱，我們無(wú)法通過(guò)一個(gè)數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)另一個(gè)數(shù)據(jù)值，所以這組數(shù)據(jù)具有低冗余性。對(duì)于右側(cè)一組數(shù)據(jù)，很明顯，\(r_{1},r_{2}\)具有十分強(qiáng)的相關(guān)關(guān)系，因此我們完全可以通過(guò)回歸方程由一個(gè)數(shù)據(jù)值來(lái)預(yù)測(cè)另一個(gè)數(shù)據(jù)值，即該數(shù)據(jù)是只需要一個(gè)維度即可表示，故該數(shù)據(jù)是高度冗余的。

??為此PCA的思想就是去除那些冗余的維度，讓映射到的低維空間中，每個(gè)方向都具有低的相關(guān)性，從而使映射后的數(shù)據(jù)\(Y\)冗余程度大大減小，從而實(shí)現(xiàn)降維的目的。

圖2. 來(lái)自兩個(gè)單獨(dú)的測(cè)量 ，\(r_{1}\)，\(r_{2}\) 的數(shù)據(jù)中可能存在冗余的情況。左圖中的兩個(gè)測(cè)量是不相關(guān)的，因?yàn)槟悴荒軓囊粋€(gè)預(yù)測(cè)另一個(gè)。相反，右圖中的兩個(gè)測(cè)量高度相關(guān)，這意味著數(shù)據(jù)高度冗余。

2. 協(xié)方差矩陣

??由概率論的知識(shí)我們知道，協(xié)方差可以用來(lái)描述兩個(gè)變量之間的相關(guān)性。
協(xié)方差的定義為：

協(xié)方差越大，兩個(gè)變量的相關(guān)性越強(qiáng)；協(xié)方差等于0，兩個(gè)變量沒(méi)有相關(guān)性。

??對(duì)于一個(gè)零均值化后數(shù)據(jù)矩陣\(X_{n\times m}\)(m為數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)，n為數(shù)據(jù)維度)，其協(xié)方差矩陣的定義為：

其中協(xié)方差矩陣對(duì)角線上的元素是每個(gè)變量自身的方差，其他元素是兩個(gè)變量之間的協(xié)方差。協(xié)方差矩陣反應(yīng)了數(shù)據(jù)的噪聲與信號(hào)，其中對(duì)角代表著信號(hào)值，其余代表著噪聲。我們不僅希望噪聲越小，還希望信號(hào)越大，即我們希望保留數(shù)據(jù)方差最大所代表的方向。
?? 對(duì)于式（1），我們可以求得：\(Cov(X) = \frac{1}{m-1} XX^{T}\)，我們希望新數(shù)據(jù)集\(Y\)的數(shù)據(jù)維度之間沒(méi)有冗余，即我們希望他們之間的協(xié)方差為0，因此\(Y\)的協(xié)方差矩陣是一個(gè)對(duì)角矩陣。

3. 算法推導(dǎo)

由上述已知Y的協(xié)方差矩陣為一個(gè)對(duì)角矩陣，即為\(\Lambda\)，由（1）及題意有：

即:

由線性代數(shù)的知識(shí)我們知道，上式是一個(gè)對(duì)稱(chēng)矩陣的合同變換，其中對(duì)角陣\(\Lambda\)是其特征值組成的矩陣，\(A\)是其特征值對(duì)應(yīng)特征向量所組成的矩陣。

??綜上我們得知，如果要將X映射到Y(jié)中，只需要選取最大特征值所對(duì)應(yīng)的特征向量構(gòu)成變換矩陣A，則可獲得映射后的數(shù)據(jù)集Y。

4. 算法步驟

1. 將數(shù)據(jù)集X零均值化
2. 計(jì)算X的協(xié)方差矩陣，并進(jìn)行特征值分解
3. 選取k個(gè)最大的特征值所對(duì)應(yīng)的特征向量，組成變換矩陣A
4. 得到降維后的新數(shù)據(jù)Y=AX

2. 代碼補(bǔ)充

補(bǔ)充的代碼如下：

######### 需要你完成: #########  
# 1. 計(jì)算數(shù)據(jù)的均值向量mu  
mu = np.mean(X,axis=0)  
X = X - mu  
  
# 2. 計(jì)算數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣S  
S = np.cov(X.T)  
  
# 3. 對(duì)S進(jìn)行特征值分解，求得其特征值L以及對(duì)應(yīng)的特征向量U  
L,U = np.linalg.eig(S)  
L = np.real(L)  
  
# 4. 選取L中前k個(gè)最大的特征值所對(duì)應(yīng)的特征向量構(gòu)成降維矩陣W  
idx = np.argsort(L)[::-1]  
W = U[:, idx[:k]]  
###############################

3. 實(shí)驗(yàn)效果

原始圖片（圖3）及降維后圖片（圖4）如下：

圖3. 原始圖像展示

圖4. 保留不同數(shù)量的主成分后的降維圖片

4. 參考文獻(xiàn)

[1] J.Shlens "A Tutorial on Principal Component Analysis" arXiv preprint, arXiv:1404.1100v1