傅里葉變換、拉普拉斯變換和z變換
簡單總結一下幾個變換的性質，主要為了形成體系，具體的推導過程可以查閱參考書。
Fourier Transform
1. 定義
對于一個周期函數，有復數形式的傅里葉展開，即
\[f_{n}(t) = \sum\limits_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{T}\int_{-T}^{T}f_{n}(t)e^{-jn\omega t}dt \cdot e^{jn\omega t}
\]
當\(T\to\infty\)的時候，\(\omega\to0,f_{n}(t)\to f(t)\)，此時，令\(\omega_{n} = n\omega, \Delta \omega = \omega\)
有：
\[f(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-T}^{T}\sum\limits_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-j\omega_{n}t}dt\cdot e^{j\omega_{n}t}\Delta \omega = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-j\omega t}dt\cdot e^{j\omega t}d\omega
\]
則定義：
傅里葉正變換
\[\mathcal{F}[f(t)] = F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-j\omega t}dt
\]
傅里葉逆變換
\[\mathcal{F}^{-1}[F(\omega)] = f(t) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}F(\omega)e^{j\omega t}d\omega
\]
存在條件：滿足狄利克雷條件，即：1. 在區間上只有有限個第一類間斷點，2. 在區間上有有限個極值點。 并且滿足函數在區間上絕對可積。
2. 性質
-
線性
滿足可加性和其次性 -
位移性
\[\mathcal{F}[f(t-t_{0})] = e^{-j\omega t_{0}}F(\omega)
\]
\[\mathcal{F}^{-1}[F(\omega-\omega_{0})] = e^{j\omega_{0}t} f(t)
\]
- 相似性
\[\mathcal{F}[f(at)] = \frac{1}{|a|}F(\frac{\omega}{a})
\]
- 對稱性
\[\mathcal{F}[F(t)] = 2\pi f(-\omega)
\]
- 微分性
關于原函數的微分定理
\[\mathcal{F}[f^{(n)}(t)] = (it)^{n}F(\omega)
\]
關于象函數的微分定理
\[\mathcal {F^{-1}}[\frac{d^{n}}{d\omega^{n}}F(\omega) ]= (-it)^{n}f(t)
\]
- 積分性
關于原函數的積分定理
取上面微分定理n=-1即可
3. 脈沖函數（狄拉克函數）
定義這樣一個函數\(\delta(t)\)，滿足：
1.
\[\delta(t) =
\left \{
\begin{matrix} +\infty &t=0 \\ 0 &其他 \end{matrix}
\right.
\]
\[\int_{-\infty}^{\infty}\delta(t)=1
\]
有如下性質：
1.
\[\int_{-\infty}^{\infty}f(t)\delta(t) = f(0)
\]
\[\mathcal{F}[\delta(t)] = 1 \qquad \qquad
\]
4. Parseval 定理
暫時用不上，先占個位，畢竟我不是搞這個方向的。
5. 卷積
1. 時域卷積定理
時域卷積=頻域相乘，即：
\[\mathcal{F}[f_1(t)*f_{2}(t)] = F_{1}(\omega)\cdot F_{2}(\omega)
\]
2. 頻域卷積定理
頻域卷積=2\(\pi\)時域相乘，即：
\[F_{1}(\omega)*F_{2}(\omega) = 2\pi \mathcal{F}[{f_{1}(t)f_{2}(t)}]
\]
Laplace Transform
由于傅里葉變換存在條件有些嚴苛，假設我們只需要滿足當t>0時才有值，并且對于該函數在t>0部分不超過一個指數函數，則我們就有Laplace變換
1. 定義
\[\begin{aligned}
\mathcal{F}[f(t)] &= \int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-j\omega t}dt\\
&=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)u(t)e^{-\alpha t}e^{-j\omega t}dt \\
&=\int_{0}^{\infty}f(t)e^{-(\alpha+\omega )t}dt
\end{aligned}
\]
定義 \(s = \alpha + \omega\)，則有：
\[\mathscr{L}[f(t)] = \int_{0}^{+\infty}f(t)e^{-st}dt
\]
同理，一樣有拉普拉斯逆變換
2. 性質
由于拉普拉斯變換可由傅里葉變換推出，故拉普拉斯變換有絕大多數傅里葉變換的性質
- 線性
- 位移性
\[\mathscr{L}[f(t-t_{0})] = e^{-st_{0}}F(s)
\]
\[\mathscr{L^{-1}}[F(s-s_{0})] = e^{s_{0}t}f(t)
\]
- 微分性
原函數的微分
\[\mathscr{L}[f^{(n)}(t)] = s^{n}F(s) - s^{n-1}f(0) - s^{n-2}f'(0)-\cdots -sf^{(n-1)}(0)-f^{(n-1)}(0)
\]
象函數的微分
\[\frac{d^{n}}{ds^{n}}F(s) = (-1)^{n}\mathscr{L}[t^{n}f(t)]
\]
- 積分性
原函數的積分
\[\mathscr{L}\left[\int_{0}^{t}dt\int_{0}^{t}df\cdots\int_{0}^{t}f(t)dt\right] = \frac{1}{s^{n}}F(s)
\]
象函數的積分
\[\mathscr{L}^{-1}\left[ \int_{s}^{\infty}ds\cdots\int_{s}^{\infty}F(s)ds \right]= \frac{f(t)}{t^{n}}
\]
- 終值定理
\[f(+\infty ) = \lim_{t\to0}sF(S)
\]
- 初值定理
\[f(0_{+}) = \lim_{t\to+\infty }sF(s)
\]
- 逆變換求法
\[\mathscr{L}[F(s)] = \sum\limits Res[e^{st}F(s),s_{k}]
\]
從這開始我們將進入離散數據變換，即對模擬信號的采樣，也就是數字信號
z Transform
1. 定義
對于一個數字序列\(x(n)\)
\[X(z) = \mathscr{Z}[x(n)] = \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}x(n)z^{-n}
\]
2. 收斂域
對于該序列，我們收斂條件是其絕對可和，即：
\[\sum\limits_{-\infty}^{\infty}|x(n)z^{-n}|<\infty
\]
3. 求z逆變換
- 如果復變函數你學的比較好，可以直接利用間接法將其用洛朗級數展開，其中的收斂域就是對應的收斂域。
- 留數法：
假設有：
\[X(z) = \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty}x(n)z^{-n}
\]
兩邊同時乘以 \(z^{k-1}\)，并對其進行積分，其中積分路徑是其收斂域內一條封閉曲線
即：
\[\oint_{c}X(z)z^{k-1}dz = \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty}x(n)\oint_{c}\frac{1}{z^{n-k+1}}dz
\]
根據柯西積分公式，只有n=m時右式才不等于0，即有：
\[x(k) = \frac{1}{2\pi j} \oint_{c}X(z)z^{k-1}dz
\]
即為：
\[x(n) = \mathscr{Z}^{-1}[X(z)] = \frac{1}{2\pi j}\oint_{c}X(z)z^{n-1}dz
\]
根據留數定理有：
\[x(n) = Res[X(z)z^{n-1}, z_{k}]
\]
- 看了大部分網絡上以及課本上面的因式分解法，實際上就是將原本復雜分式形式的系統函數分解成幾個簡單形式的分數之和，在利用一些常見函數的z變換還有一些性質反推回去，僅此而已。
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