Lattice Cryptography 格密碼概述

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Lattice Cryptography 格密碼概述

Date: October 06, 2025
Author：@3cH0_Nu1L

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Lattice 格的歷史發(fā)展
格的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)與理論推導(dǎo)
格基與格基約化算法
格的基本屬性及關(guān)鍵概念
SVP 最短向量問(wèn)題深度解析
CVP 最近向量問(wèn)題理論與算法
SIVP 最短獨(dú)立向量問(wèn)題研究
LWE 問(wèn)題及密碼學(xué)應(yīng)用
格密碼的構(gòu)造原理與實(shí)現(xiàn)
NIST 后量子密碼標(biāo)準(zhǔn)詳解
全同態(tài)加密與高級(jí)應(yīng)用
最新研究進(jìn)展與技術(shù)突破
產(chǎn)業(yè)化應(yīng)用與實(shí)踐案例
安全性分析與攻擊防御
結(jié)論與未來(lái)展望

1. Lattice 格的歷史發(fā)展

1.1 早期數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（1840-1980）

格理論的研究起源可以追溯到 1611 年開(kāi)普勒提出的堆球猜想，但真正的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)建立于 19 世紀(jì)。1840 年前后，高斯（Carl Friedrich Gauss）正式引進(jìn)了格的概念，并證明了在三維空間中堆球的最大密度。

高斯的貢獻(xiàn)：

證明了在三維空間中，如果所有球心構(gòu)成格，那么堆積密度的最大值是\(\pi/\sqrt{18} \approx 0.74048\)
深入研究了格的幾何性質(zhì)，為后續(xù)格理論的發(fā)展奠定了基礎(chǔ)

閔可夫斯基的工作：

1896 年，閔可夫斯基發(fā)表了《數(shù)的幾何》，系統(tǒng)地發(fā)展了格理論：

提出了著名的閔可夫斯基定理
建立了格的基本理論框架
為格在數(shù)論中的應(yīng)用奠定了基礎(chǔ)

1.2 算法突破階段（1982-1996）

1982 年是格理論發(fā)展的重要轉(zhuǎn)折點(diǎn)，Lenstra、Lenstra 和 Lovász 提出了著名的LLL 算法（Lenstra-Lenstra-Lovász 算法）。

LLL 算法的主要貢獻(xiàn)：

提供了第一個(gè)多項(xiàng)式時(shí)間的格基約化算法
能夠?qū)⑷我飧窕D(zhuǎn)換為 "好基"（短且接近正交的基）
為解決格上的困難問(wèn)題提供了有效工具

LLL 算法的時(shí)間復(fù)雜度：\(O(n^6 \log^3 q)\)，其中\(n\)是格的維度，\(q\)是最大元素的絕對(duì)值。

密碼分析應(yīng)用：

LLL 算法在密碼學(xué)和計(jì)算數(shù)論中有著廣泛的應(yīng)用：

攻擊背包密碼系統(tǒng)
破解低指數(shù) RSA
求解整數(shù)規(guī)劃問(wèn)題
證明了格密碼的可證明安全性

1.3 第一代格密碼（1996-2005）

1996 年，Miklós Ajtai 發(fā)表了開(kāi)創(chuàng)性論文《Generating Hard Instances of Lattice Problems》，首次將格上的平均情況困難問(wèn)題與最壞情況困難問(wèn)題聯(lián)系起來(lái)，奠定了格密碼的理論基礎(chǔ)。

重要里程碑：

1996 年：Ajtai 提出 SIS（Short Integer Solution）問(wèn)題
1997 年：Ajtai-Dwork 密碼體制問(wèn)世，這是第一個(gè)基于格的密碼體制
1999 年：Goldreich、Goldwasser 和 Halevi 提出 GGH 密碼體制
1998 年：Hoffstein、Pipher 和 Silverman 提出 NTRU 加密方案

Ajtai 的革命性貢獻(xiàn)：

Ajtai 首次證明了可以將格上的最壞情況困難問(wèn)題歸約到平均情況困難問(wèn)題，這為格密碼的安全性提供了堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ)。

1.4 第二代格密碼（2005 - 至今）

2005 年，Oded Regev 在 STOC 會(huì)議上發(fā)表了《On Lattices, Learning with Errors, Random Linear Codes, and Cryptography》，提出了 LWE（Learning With Errors）問(wèn)題，這標(biāo)志著格密碼進(jìn)入了快速發(fā)展階段。

關(guān)鍵發(fā)展：

2005 年：Regev 證明 LWE 問(wèn)題與格上困難問(wèn)題相關(guān)，并構(gòu)建了基于 LWE 的公鑰密碼方案
2008 年：Gentry、Peikert、Vaikuntanathan 提出格基陷門函數(shù)
2009 年：Gentry 提出第一個(gè)完全同態(tài)加密方案
2011 年：Lyubashevsky、Peikert、Regev 提出格基數(shù)字簽名
2013 年：Brakerski、Vaikuntanathan 提出 Ring-LWE 的同態(tài)加密方案
2016 年：NIST 啟動(dòng)后量子密碼標(biāo)準(zhǔn)化項(xiàng)目
2022 年：NIST 選定 CRYSTALS-Kyber 和 CRYSTALS-Dilithium 作為標(biāo)準(zhǔn)
2024 年：NIST 發(fā)布 FIPS 203、204、205 后量子密碼標(biāo)準(zhǔn)

1.5 格密碼發(fā)展時(shí)間線

年份	研究者	重要貢獻(xiàn)	意義
1840	高斯	引入格的數(shù)學(xué)概念，研究格堆積問(wèn)題	將格從物理直覺(jué)抽象為數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)
1896	閔可夫斯基	發(fā)表《數(shù)的幾何》，系統(tǒng)發(fā)展格理論	建立格理論的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)
1982	Lenstra-Lenstra-Lovász	提出 LLL 算法	首個(gè)多項(xiàng)式時(shí)間格基約化算法
1996	Ajtai	提出隱藏超平面問(wèn)題及其歸約	首次實(shí)現(xiàn)平均 - 最壞情況歸約
1997	Ajtai-Dwork	提出第一個(gè)基于格的密碼系統(tǒng)	現(xiàn)代格密碼學(xué)的誕生
1998	Hoffstein-Pipher-Silverman	提出 NTRU 加密方案	首個(gè)實(shí)用的格密碼方案
2005	Regev	提出 LWE 問(wèn)題	格密碼的重大理論突破
2009	Gentry	提出第一個(gè)完全同態(tài)加密方案	密碼學(xué) "圣杯" 的實(shí)現(xiàn)
2016	NIST	啟動(dòng)后量子密碼標(biāo)準(zhǔn)化項(xiàng)目	推動(dòng)格密碼走向標(biāo)準(zhǔn)化
2022	NIST	選定 Kyber 和 Dilithium 作為標(biāo)準(zhǔn)	格密碼成為國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)
2024	NIST	發(fā)布 FIPS 203/204/205 標(biāo)準(zhǔn)	格密碼正式進(jìn)入主流應(yīng)用

2. 格的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)與理論推導(dǎo)

2.1 格的嚴(yán)格數(shù)學(xué)定義

定義 2.1（格）：在\(n\)維歐幾里得空間\(\mathbb{R}^m\)（\(m \geq n\)）中，設(shè)\(b_1, b_2, \ldots, b_n\)是一組線性無(wú)關(guān)的向量，則由這些向量的所有整數(shù)線性組合構(gòu)成的集合稱為格：

\(\mathcal{L}(b_1, b_2, \ldots, b_n) = \left\{ \sum_{i=1}^n x_i b_i \mid x_i \in \mathbb{Z} \right\}\)

其中\(B = [b_1 \mid b_2 \mid \ldots \mid b_n] \in \mathbb{R}^{m \times n}\)稱為格的基矩陣。

格的基本性質(zhì)：

離散性：格由離散的點(diǎn)（格點(diǎn)）組成，在任意有界區(qū)域內(nèi)只有有限個(gè)格點(diǎn)
周期性：格具有平移對(duì)稱性，格點(diǎn)在各個(gè)方向上周期性排列
無(wú)限性：格包含無(wú)限多個(gè)格點(diǎn)
線性結(jié)構(gòu)：格在向量加法下構(gòu)成交換群，并且與\(\mathbb{Z}^n\)同構(gòu)

2.2 格的基表示與變換

基的非唯一性：

同一個(gè)格可以有不同的基表示。如果\(B\)和\(B'\)是同一格的兩個(gè)基，則存在幺模矩陣\(U \in \mathbb{Z}^{n \times n}\)（\(\det(U) = \pm 1\)），使得：

\(B' = B U\)

證明：

設(shè)\(B = [b_1, b_2, \ldots, b_n]\)和\(B' = [b_1', b_2', \ldots, b_n']\)是同一格的兩個(gè)基，則每個(gè)\(b_i'\)都可以表示為\(B\)的列向量的整數(shù)線性組合：

\(b_i' = \sum_{j=1}^n u_{j,i} b_j\)

其中\(u_{j,i} \in \mathbb{Z}\)。因此\(B' = B U\)，其中\(U = (u_{j,i}) \in \mathbb{Z}^{n \times n}\)。

由于\(B\)和\(B'\)都是基，\(U\)必須是可逆的，且其逆矩陣\(U^{-1}\)也必須有整數(shù) entries。這意味著\(\det(U) = \pm 1\)，即\(U\)是幺模矩陣。

2.3 格的基本區(qū)域

定義 2.2（基本區(qū)域）：格\(\mathcal{L}\)的基本區(qū)域（Fundamental Domain）是指格基在區(qū)間\([0,1)\)內(nèi)的所有實(shí)系數(shù)線性組合構(gòu)成的集合：

\(\mathcal{F}(B) = \left\{ \sum_{i=1}^n x_i b_i \mid 0 \leq x_i < 1 \right\}\)

基本區(qū)域的性質(zhì)：

體積不變性：基本區(qū)域的體積等于格的行列式\(\det(\mathcal{L}) = |\det(B^T B)|^{1/2}\)
覆蓋性：將基本區(qū)域平移到每個(gè)格點(diǎn)上，可以覆蓋整個(gè)空間而不重疊
唯一性表示：空間中的任意向量都可以唯一表示為格點(diǎn)加上基本區(qū)域中的向量

2.4 格的行列式與體積

定義 2.3（格的行列式）：格\(\mathcal{L}\)的行列式（或協(xié)體積）是格基向量構(gòu)成的平行多面體的體積，記為\(\det(\mathcal{L})\)或\(\text{vol}(\mathcal{L})\)。

對(duì)于滿秩格（\(m = n\)），行列式為：

\(\det(\mathcal{L}) = |\det(B)|\)

對(duì)于非滿秩格（\(m > n\)），行列式為：

\(\det(\mathcal{L}) = |\det(B^T B)|^{1/2}\)

行列式的幾何意義：

行列式表示格點(diǎn)的分布密度。行列式越小，格點(diǎn)分布越密集；行列式越大，格點(diǎn)分布越稀疏。

2.5 閔可夫斯基定理的詳細(xì)證明

定理 2.1（閔可夫斯基第一定理）：任何秩為\(n\)的格\(\mathcal{L}\)都包含一個(gè)非零向量\(v\)，使得：

\(\|v\| \leq \sqrt{n} \cdot (\det(\mathcal{L}))^{1/n}\)

證明：

第一步：構(gòu)造輔助集合

設(shè)\(R = \sqrt{n} \cdot (\det(\mathcal{L}))^{1/n}\)，考慮以原點(diǎn)為中心、半徑為\(R\)的閉球\(B(0, R)\)。我們需要證明\(B(0, R)\)中包含非零格點(diǎn)。

第二步：體積比較

球\(B(0, R)\)的體積為：

\(\text{vol}(B(0, R)) = \frac{\pi^{n/2}}{\Gamma(n/2 + 1)} R^n\)

代入\(R\)的值：

\(\text{vol}(B(0, R)) = \frac{\pi^{n/2}}{\Gamma(n/2 + 1)} n^{n/2} \det(\mathcal{L})\)

第三步：應(yīng)用鴿巢原理

考慮球\(B(0, R/2)\)與格的平移\(v + B(0, R/2)\)，其中\(v \in \mathcal{L}\)。

這些平移球的體積為：

\(\text{vol}(v + B(0, R/2)) = \frac{\pi^{n/2}}{\Gamma(n/2 + 1)} (R/2)^n\)

如果這些球互不相交，則它們的總體積不會(huì)超過(guò)基本區(qū)域的體積\(\det(\mathcal{L})\)。但實(shí)際上：

\(\frac{\pi^{n/2}}{\Gamma(n/2 + 1)} (R/2)^n = \frac{\pi^{n/2}}{\Gamma(n/2 + 1)} \frac{n^{n/2}}{2^n} \det(\mathcal{L})\)

對(duì)于\(n \geq 1\)，我們有\(\frac{\pi^{n/2} n^{n/2}}{\Gamma(n/2 + 1) 2^n} > 1\)，這意味著至少有兩個(gè)平移球相交。

第四步：得出結(jié)論

設(shè)\(u + B(0, R/2)\)和\(v + B(0, R/2)\)相交，則存在\(x, y \in B(0, R/2)\)使得\(u + x = v + y\)。因此\(u - v = y - x\)，且：

\(\|u - v\| = \|y - x\| \leq \|y\| + \|x\| < R/2 + R/2 = R\)

由于\(u - v \in \mathcal{L}\)且\(u \neq v\)，所以\(u - v\)是\(B(0, R)\)中的非零格點(diǎn)。

閔可夫斯基定理的應(yīng)用：

給出最短向量長(zhǎng)度的上界
證明格中存在短向量
密碼學(xué)安全性分析
格基約化算法的理論指導(dǎo)

2.6 對(duì)偶格的理論推導(dǎo)

定義 2.4（對(duì)偶格）：給定格\(\mathcal{L}(B)\)，其對(duì)偶格\(\mathcal{L}^*\)定義為：

\(\mathcal{L}^* = \left\{ x \in \text{span}(\mathcal{L}) \mid \langle x, v \rangle \in \mathbb{Z} \text{ for all } v \in \mathcal{L} \right\}\)

對(duì)偶格的基表示：

如果\(B\)是\(\mathcal{L}\)的基，則對(duì)偶格\(\mathcal{L}^*\)的基為：

\(B^* = (B^T B)^{-1} B^T\)

證明：

設(shè)\(B = [b_1, b_2, \ldots, b_n]\)，\(B^* = [b_1^*, b_2^*, \ldots, b_n^*]\)。我們需要證明\(\langle b_i^*, b_j \rangle = \delta_{i,j}\)（Kronecker 符號(hào)）。

計(jì)算：

\(\langle b_i^*, b_j \rangle = e_i^T (B^T B)^{-1} B^T b_j = e_i^T (B^T B)^{-1} (B^T B) e_j = e_i^T e_j = \delta_{i,j}\)

因此\(B^*\)確實(shí)是對(duì)偶格的基。

對(duì)偶格的重要性質(zhì)：

\((\mathcal{L}^*)^* = \mathcal{L}\)
\(\det(\mathcal{L}^*) = 1/\det(\mathcal{L})\)
\(\lambda_k(\mathcal{L}) \lambda_{n-k+1}(\mathcal{L}^*) \geq 1\)（Banaszczyk 不等式）

3. 格基與格基約化算法

3.1 Gram-Schmidt 正交化過(guò)程

Gram-Schmidt 算法：

將任意基轉(zhuǎn)換為正交基的過(guò)程。

算法 3.1（Gram-Schmidt 正交化）：

輸入：基\(B = [b_1, b_2, \ldots, b_n]\)

輸出：正交基\(B^* = [b_1^*, b_2^*, \ldots, b_n^*]\)和系數(shù)矩陣\(\mu\)

for i from 1 to n:

   b_i^* = b_i

   for j from 1 to i-1:

       mu[i,j] = <b_i, b_j^*> / <b_j^*, b_j^*>

       b_i^* = b_i^* - mu[i,j] * b_j^*

數(shù)學(xué)表示：

\(b_i^* = b_i - \sum_{j=1}^{i-1} \mu_{i,j} b_j^*\)

其中\(\mu_{i,j} = \frac{\langle b_i, b_j^* \rangle}{\langle b_j^*, b_j^* \rangle}\)。

性質(zhì)：

\(b_i^*\)與\(b_j^*\)正交（\(i \neq j\)）
\(\det(B) = \prod_{i=1}^n \|b_i^*\|\)
Gram-Schmidt 正交化不改變格的行列式

3.2 LLL 算法的詳細(xì)推導(dǎo)

3.2.1 LLL 約化條件

定義 3.1（LLL 約化基）：一個(gè)格基被稱為 LLL 約化的，如果滿足以下條件：

尺寸縮減條件：\(|\mu_{i,j}| \leq 1/2\) for all \(j < i\)
Lovász 條件：\(\|b_i^* + \mu_{i,i-1} b_{i-1}^*\|^2 \geq (\delta - \mu_{i,i-1}^2) \|b_{i-1}^*\|^2\)

其中\(\delta \in (1/4, 1)\)是一個(gè)參數(shù)，通常取\(\delta = 3/4\)。

3.2.2 LLL 算法的完整實(shí)現(xiàn)

import numpy as np

from numpy.linalg import inv, norm

def gram_schmidt(B):

   """Gram-Schmidt正交化"""

   n = B.shape[1]

   B_star = B.astype(np.float64).copy()

   mu = np.zeros((n, n), dtype=np.float64)

   for i in range(n):

       for j in range(i):

           mu[i, j] = np.dot(B_star[:, i], B_star[:, j]) / np.dot(B_star[:, j], B_star[:, j])

           B_star[:, i] -= mu[i, j] * B_star[:, j]

   return B_star, mu

def lll_reduction(B, delta=0.75):

   """完整的LLL格基約化算法"""

   n = B.shape[1]

   B = B.astype(np.float64).copy()

   B_star, mu = gram_schmidt(B)

   i = 1

   while i < n:

       # 尺寸縮減

       for j in range(i-1, -1, -1):

           if abs(mu[i, j]) > 0.5:

               t = round(mu[i, j])

               B[:, i] -= t * B[:, j]

               # 更新Gram-Schmidt系數(shù)

               B_star, mu = gram_schmidt(B)

       # 檢查L(zhǎng)ovász條件

       current_norm_sq = np.dot(B_star[:, i], B_star[:, i])

       prev_norm_sq = np.dot(B_star[:, i-1], B_star[:, i-1])

       lovasz_left = current_norm_sq + mu[i, i-1]**2 * prev_norm_sq

       lovasz_right = delta * prev_norm_sq

       if lovasz_left < lovasz_right:

           # 交換列i和i-1

           B[:, [i, i-1]] = B[:, [i-1, i]]

           # 更新Gram-Schmidt系數(shù)

           B_star, mu = gram_schmidt(B)

           i = max(i-1, 1)

       else:

           i += 1

   return B

# 示例

basis = np.array([[1000, 999], [999, 998]])

print("原始基:")

print(basis)

reduced_basis = lll_reduction(basis)

print("\nLLL約化基:")

print(reduced_basis)

print("\n基向量長(zhǎng)度:", [norm(col) for col in reduced_basis.T])

3.2.3 LLL 算法的近似保證

定理 3.1（LLL 算法的近似保證）：

設(shè)\(B\)是 LLL 約化基，則對(duì)于所有\(1 \leq k \leq n\)：

\(\|b_k\| \leq 2^{(n-1)/2} \lambda_k(\mathcal{L})\)

其中\(\lambda_k(\mathcal{L})\)是格的第\(k\)個(gè)連續(xù)最小長(zhǎng)度。

證明概要：

通過(guò)歸納法證明。對(duì)于\(k=1\)，利用 Lovász 條件和尺寸縮減條件，可以得到：

\(\|b_1\|^2 \leq \frac{2}{4\delta - 1} \det(\mathcal{L})^{2/n}\)

結(jié)合閔可夫斯基定理，可得\(\|b_1\| \leq 2^{(n-1)/2} \lambda_1(\mathcal{L})\)。

對(duì)于一般\(k\)，通過(guò)考慮子格和應(yīng)用歸納假設(shè)，可以得到相應(yīng)的界。

3.3 BKZ 算法的原理與實(shí)現(xiàn)

3.3.1 BKZ 算法的基本思想

BKZ（Block Korkine-Zolotarev）算法是 LLL 算法的改進(jìn)版本，通過(guò)塊約化的方式獲得更好的基質(zhì)量。

算法 3.2（BKZ 算法框架）：

function BKZ(B, block_size):

   n = dimension of B

   while True:

       improved = False

       for i from 0 to n - block_size:

           # 提取塊

           block = B[:, i:i+block_size]

           # 對(duì)塊進(jìn)行局部約化（精確求解SVP）

           reduced_block = solve_SVP(block)

           # 更新原基

           if reduced_block != block:

               B[:, i:i+block_size] = reduced_block

               improved = True

               # 重新進(jìn)行Gram-Schmidt正交化

               recompute Gram-Schmidt coefficients

       if not improved:

           break

   return B

3.3.2 BKZ 算法的 Python 實(shí)現(xiàn)

def bkz_reduction(B, block_size=20, max_iterations=100):

   """簡(jiǎn)化版BKZ算法"""

   n = B.shape[1]

   B = B.astype(np.float64).copy()

   for iteration in range(max_iterations):

       improved = False

       for i in range(n - block_size + 1):

           # 提取當(dāng)前塊

           block = B\[:, i:i+block_size].copy()

           # 對(duì)塊進(jìn)行LLL約化（實(shí)際中應(yīng)該用更精確的算法）

           reduced_block = lll_reduction(block)

           # 檢查是否有改進(jìn)

           original_norm = sum(norm(col)\*\*2 for col in block.T)

           reduced_norm = sum(norm(col)\*\*2 for col in reduced_block.T)

           if reduced_norm < original_norm - 1e-9:  # 允許小的數(shù)值誤差

               B[:, i:i+block_size] = reduced_block

               improved = True

       if not improved:

           break

   return B

# 示例

np.random.seed(42)

basis = np.random.randint(1, 100, size=(5, 5))

print("原始基:")

print(basis)

bkz_basis = bkz_reduction(basis, block_size=3)

print("\nBKZ約化基:")

print(bkz_basis)

print("\n基向量長(zhǎng)度:", \[norm(col) for col in bkz_basis.T])

4. 格的基本屬性及關(guān)鍵概念

4.1 格的核心參數(shù)

4.1.1 秩與維度

定義 4.1（秩）：格基中向量的個(gè)數(shù)\(n\)稱為格的秩，記為\(\text{rank}(\mathcal{L})\)。

定義 4.2（維度）：格所在的歐幾里得空間的維度\(m\)稱為格的維度。

滿秩格與低秩格：

當(dāng)\(n = m\)時(shí)，稱格為滿秩格
當(dāng)\(n < m\)時(shí)，稱格為低秩格

4.1.2 行列式與密度

定義 4.3（格的密度）：格的密度\(\rho(\mathcal{L})\)是格點(diǎn)在空間中的分布密度：

\(\rho(\mathcal{L}) = \frac{1}{\det(\mathcal{L})}\)

物理意義：

密度表示單位體積內(nèi)的格點(diǎn)數(shù)量。密度越高，格點(diǎn)分布越密集。

4.1.3 最小距離

定義 4.4（最小距離）：格\(\mathcal{L}\)的最小距離\(d(\mathcal{L})\)是格中兩個(gè)不同格點(diǎn)之間的最小歐幾里得距離：

\(d(\mathcal{L}) = \min_{u, v \in \mathcal{L}, u \neq v} \|u - v\|\)

計(jì)算：

最小距離等于格中最短非零向量的長(zhǎng)度：

\(d(\mathcal{L}) = \min_{v \in \mathcal{L}, v \neq 0} \|v\| = \lambda_1(\mathcal{L})\)

其中\(\lambda_1(\mathcal{L})\)是格的第一個(gè)連續(xù)最小長(zhǎng)度。

4.2 連續(xù)最小長(zhǎng)度

定義 4.5（連續(xù)最小長(zhǎng)度）：格\(\mathcal{L}\)的第\(k\)個(gè)連續(xù)最小長(zhǎng)度\(\lambda_k(\mathcal{L})\)是包含\(k\)個(gè)線性無(wú)關(guān)格向量的最小球的半徑。

數(shù)學(xué)表示：

\(\lambda_k(\mathcal{L})\)是滿足以下條件的最小實(shí)數(shù)\(r\)：以原點(diǎn)為中心、半徑為\(r\)的球體內(nèi)至少包含\(k\)個(gè)線性無(wú)關(guān)的格向量。

性質(zhì)：

\(\lambda_1(\mathcal{L}) \leq \lambda_2(\mathcal{L}) \leq \ldots \leq \lambda_n(\mathcal{L})\)
\(\lambda_k(\mathcal{L}) \leq \sqrt{k} \cdot (\det(\mathcal{L}))^{1/n}\)（閔可夫斯基定理的推廣）
\(\lambda_k(\mathcal{L}) \lambda_{n-k+1}(\mathcal{L}^*) \geq 1\)（對(duì)偶性）

4.3 覆蓋半徑

定義 4.6（覆蓋半徑）：格\(\mathcal{L}\)的覆蓋半徑\(\mu(\mathcal{L})\)是從原點(diǎn)到格的最遠(yuǎn)點(diǎn)的距離：

\(\mu(\mathcal{L}) = \max_{x \in \mathbb{R}^n} \min_{v \in \mathcal{L}} \|x - v\|\)

幾何意義：

覆蓋半徑是能夠覆蓋整個(gè)空間的最小球的半徑，使得每個(gè)球心都是格點(diǎn)。

與連續(xù)最小長(zhǎng)度的關(guān)系：

對(duì)于滿秩格，有：

\(\mu(\mathcal{L}) \leq \frac{1}{2} \sum_{i=1}^n \lambda_i(\mathcal{L})\)

4.4 基質(zhì)量評(píng)估指標(biāo)

4.4.1 Hadamard 比率

定義 4.7（Hadamard 比率）：

\(\text{HR}(B) = \frac{|\det(B)|}{\prod_{i=1}^n \|b_i\|}\)

意義：

Hadamard 比率衡量基的正交性。理想正交基的 Hadamard 比率為 1，比率越接近 1，基的正交性越好。

4.4.2 正交缺陷

定義 4.8（正交缺陷）：

\(\text{OD}(B) = \frac{\prod_{i=1}^n \|b_i\|}{|\det(B)|} = \frac{1}{\text{HR}(B)}\)

意義：

正交缺陷越小，基的質(zhì)量越好。對(duì)于 LLL 約化基，有\(\text{OD}(B) \leq 2^{n(n-1)/4}\)。

4.5 代碼實(shí)現(xiàn)：格參數(shù)計(jì)算

def compute_lattice_parameters(B):

   """計(jì)算格的基本參數(shù)"""

   n = B.shape[1]

   # 計(jì)算行列式

   if B.shape[0] == B.shape[1]:  # 滿秩格

       det = abs(np.linalg.det(B))

   else:  # 非滿秩格

       det = np.sqrt(abs(np.linalg.det(B.T @ B)))

   # 計(jì)算Gram-Schmidt正交化

   B_star, mu = gram_schmidt(B)

   # 計(jì)算基向量長(zhǎng)度

   lengths = [np.linalg.norm(col) for col in B.T]

   # 計(jì)算Hadamard比率

   product_lengths = np.prod(lengths)

   hadamard_ratio = det / product_lengths if product_lengths > 0 else 0

   # 計(jì)算正交缺陷

   ortho_defect = product_lengths / det if det > 0 else float('inf')

   # 計(jì)算密度

   density = 1 / det if det > 0 else 0

   return {

       'dimension': n,

       'determinant': det,

       'basis_lengths': lengths,

       'hadamard_ratio': hadamard_ratio,

       'orthogonal_defect': ortho_defect,

       'density': density

   }

# 示例

	basis1 = np.array(\[\[3, 1], \[1, 2]])

	basis2 = np.array(\[\[1, 0], \[0, 1]])  # 標(biāo)準(zhǔn)正交基

	basis3 = np.array(\[\[10, 9], \[8, 7]])  # 條件數(shù)較大的基

	print("標(biāo)準(zhǔn)正交基參數(shù):")

	print(compute_lattice_parameters(basis2))

	print("\n一般基參數(shù):")

	print(compute_lattice_parameters(basis1))

	print("\n條件數(shù)較大的基參數(shù):")

	print(compute_lattice_parameters(basis3))

5. SVP 最短向量問(wèn)題深度解析

5.1 SVP 問(wèn)題的嚴(yán)格定義

定義 5.1（最短向量問(wèn)題 SVP）：

給定格\(\mathcal{L}\)，尋找格中最短的非零向量\(v \in \mathcal{L}\)，即尋找\(v \neq 0\)使得\(\|v\| = \lambda_1(\mathcal{L})\)，其中\(\lambda_1(\mathcal{L})\)是格的最小距離。

數(shù)學(xué)形式：

\(\text{Find } v \in \mathcal{L} \setminus \{0\} \text{ such that } \|v\| = \min_{u \in \mathcal{L} \setminus \{0\}} \|u\|\)

5.2 SVP 問(wèn)題的變體

5.2.1 近似 SVP

定義 5.2（****- 近似 SVP）：

給定格\(\mathcal{L}\)和近似因子\(\gamma \geq 1\)，尋找非零向量\(v \in \mathcal{L}\)使得\(\|v\| \leq \gamma \cdot \lambda_1(\mathcal{L})\)。

5.2.2 判定 SVP

定義 5.3（判定 SVP）：

給定格\(\mathcal{L}\)和實(shí)數(shù)\(d\)，判定是否存在非零向量\(v \in \mathcal{L}\)使得\(\|v\| \leq d\)。

5.2.3 GapSVP

定義 5.4（GapSVP）：

給定格\(\mathcal{L}\)和兩個(gè)實(shí)數(shù)\(d_1 < d_2\)，區(qū)分以下兩種情況：

\(\lambda_1(\mathcal{L}) \leq d_1\)
\(\lambda_1(\mathcal{L}) > d_2\)

5.3 計(jì)算復(fù)雜性分析

5.3.1 精確 SVP 的復(fù)雜性

定理 5.1：精確 SVP 問(wèn)題是 NP 困難的。

證明概要：

通過(guò)將 NP 完全問(wèn)題（如子集和問(wèn)題）歸約到 SVP 問(wèn)題來(lái)證明。

推論：

在 P ≠ NP 的假設(shè)下，不存在多項(xiàng)式時(shí)間算法能夠精確求解 SVP 問(wèn)題。

5.3.2 近似 SVP 的復(fù)雜性

定理 5.2：對(duì)于任意常數(shù)\(\gamma \geq 1\)，\(\gamma\)- 近似 SVP 問(wèn)題是 NP 困難的。

定理 5.3：對(duì)于\(\gamma = 2^{O(n/\log n)}\)，存在多項(xiàng)式時(shí)間算法求解\(\gamma\)- 近似 SVP 問(wèn)題。

復(fù)雜性總結(jié)：

問(wèn)題變體	復(fù)雜性	已知算法
精確 SVP	NP 困難	枚舉算法、篩法
常數(shù)近似 SVP	NP 困難	LLL 算法（指數(shù)近似）
多項(xiàng)式近似 SVP	NP 困難	BKZ 算法（多項(xiàng)式近似）
指數(shù)近似 SVP	P	LLL 算法

5.4 SVP 求解算法詳解

5.4.1 枚舉算法

基本思想：

通過(guò)系統(tǒng)性地搜索格中的向量來(lái)尋找最短向量。

算法 5.1（枚舉算法）：

def svp_enumeration(B, max_depth=20):

   """基于枚舉的SVP求解算法"""

   n = B.shape[1]

   shortest_vector = None

   shortest_norm = float('inf')

   # 遞歸枚舉函數(shù)

   def enumerate_recursive(current_sum, depth, coefficients):

       nonlocal shortest_vector, shortest_norm

       if depth == n:

           if np.any(current_sum != 0):  # 非零向量

               current_norm = np.linalg.norm(current_sum)

               if current_norm < shortest_norm:

                   shortest_norm = current_norm

                   shortest_vector = current_sum.copy()

           return

       # 為了控制搜索空間，限制系數(shù)范圍

       max_coeff = max_depth // (n - depth + 1)

       for coeff in range(-max_coeff, max_coeff + 1):

           new_sum = current_sum + coeff \* B\[:, depth]

           new_coeffs = coefficients + \[coeff]

           # 剪枝：如果當(dāng)前向量已經(jīng)比已知最短向量長(zhǎng)，停止搜索

           current_norm = np.linalg.norm(new_sum)

           if current_norm >= shortest_norm \* 1.1:  # 增加一點(diǎn)余量

               continue

           enumerate_recursive(new_sum, depth + 1, new_coeffs)

   # 從原點(diǎn)開(kāi)始枚舉

   enumerate_recursive(np.zeros(B.shape\[0]), 0, \[])

   return shortest_vector, shortest_norm

# 示例

basis = np.array(\[\[3, 1], \[1, 2]])

print("格基:")

print(basis)

shortest_vec, shortest_length = svp_enumeration(basis)

print("\n最短向量:", shortest_vec)

print("最短向量長(zhǎng)度:", shortest_length)

print("理論最短長(zhǎng)度:", np.sqrt(2))  # 對(duì)于這個(gè)基，理論最短向量是(1,-1)，長(zhǎng)度√2

時(shí)間復(fù)雜度分析：

枚舉算法的時(shí)間復(fù)雜度為\(O((2k)^n)\)，其中\(k\)是搜索系數(shù)的范圍。在實(shí)踐中，該算法只適用于維度\(n \leq 30\)的格。

5.4.2 篩法

基本思想：

通過(guò)迭代地生成和篩選短向量來(lái)尋找最短向量。

算法 5.2（基于列表的篩法）：

def svp_sieve(B, max_vectors=10000):

   """基于篩法的SVP求解算法"""

   n = B.shape\[1]

   vectors = \[]

   # 生成初始向量集

   for i in range(n):

       vectors.append(B\[:, i].copy())

       vectors.append(-B\[:, i].copy())

   # 迭代篩法

   improved = True

   while improved and len(vectors) < max_vectors:

       improved = False

       # 計(jì)算當(dāng)前最短向量

       vectors.sort(key=lambda v: np.linalg.norm(v))

       current_shortest = vectors\[0]

       current_norm = np.linalg.norm(current_shortest)

       # 嘗試生成更短的向量

       new_vectors = \[]

       for i in range(len(vectors)):

           for j in range(i+1, len(vectors)):

               v = vectors\[i] - vectors\[j]

               if np.any(v != 0):  # 非零向量

                   v_norm = np.linalg.norm(v)

                   if v_norm < current_norm \* 0.99:  # 找到更短的向量

                       new_vectors.append(v)

                       improved = True

       # 添加新向量并去重

       for v in new_vectors:

           is_new = True

           for existing in vectors:

               if np.allclose(v, existing):

                   is_new = False

                   break

           if is_new:

               vectors.append(v)

       # 限制向量集大小

       if len(vectors) > max_vectors:

           vectors.sort(key=lambda v: np.linalg.norm(v))

           vectors = vectors\[:max_vectors]

   # 返回最短向量

   vectors.sort(key=lambda v: np.linalg.norm(v))

   shortest_vector = vectors\[0]

   shortest_norm = np.linalg.norm(shortest_vector)

   return shortest_vector, shortest_norm

# 示例

basis = np.array(\[\[5, 2], \[3, 4]])

print("格基:")

print(basis)

shortest_vec, shortest_length = svp_sieve(basis)

print("\n最短向量:", shortest_vec)

print("最短向量長(zhǎng)度:", shortest_length)

時(shí)間復(fù)雜度分析：

篩法的時(shí)間復(fù)雜度為\(O(2^{O(n/\log n)})\)，比枚舉算法更高效，適用于維度\(n \leq 80\)的格。

5.4.3 基于 LLL 的近似算法

算法 5.3（基于 LLL 的 SVP 近似求解）：

def svp_lll_approx(B):

   """基于LLL算法的SVP近似求解"""

   reduced_basis = lll_reduction(B)

   # 返回約化基中的最短向量

   basis_vectors = \[reduced\_basis\[:, i] for i in range(reduced_basis.shape\[1])]

   basis_vectors.sort(key=lambda v: np.linalg.norm(v))

   return basis_vectors\[0], np.linalg.norm(basis_vectors\[0])

# 示例

np.random.seed(42)

basis = np.random.randint(1, 100, size=(5, 5))

print("原始基:")

print(basis)

lll_shortest, lll_length = svp_lll_approx(basis)

print("\nLLL近似最短向量:", lll_shortest)

print("LLL近似最短長(zhǎng)度:", lll_length)

5.5 西浦團(tuán)隊(duì) SVP 突破的技術(shù)分析

5.5.1 突破概述

2025 年，西交利物浦大學(xué)丁津泰教授團(tuán)隊(duì)成功破解了 200 維 SVP 難題，刷新了全球紀(jì)錄。

技術(shù)突破點(diǎn)：

創(chuàng)新的算法設(shè)計(jì)，結(jié)合了篩法和深度學(xué)習(xí)技術(shù)
高效的硬件加速，使用了專門的 GPU 集群
優(yōu)化的內(nèi)存管理，解決了高維數(shù)據(jù)的存儲(chǔ)問(wèn)題

5.5.2 對(duì)格密碼的影響

安全參數(shù)重新評(píng)估：

西浦團(tuán)隊(duì)的突破表明，格密碼的安全參數(shù)需要重新評(píng)估。原本認(rèn)為安全的參數(shù)可能需要調(diào)整。

新的研究方向：

開(kāi)發(fā)更強(qiáng)的格基約化算法
設(shè)計(jì)更安全的格密碼方案
探索新的格困難問(wèn)題

6. CVP 最近向量問(wèn)題理論與算法

6.1 CVP 問(wèn)題的嚴(yán)格定義

定義 6.1（最近向量問(wèn)題 CVP）：

給定格\(\mathcal{L}\)和目標(biāo)向量\(t\)，尋找格中離\(t\)最近的向量\(v\)。

數(shù)學(xué)形式：

\(\text{Find } v \in \mathcal{L} \text{ such that } \|v - t\| = \min_{u \in \mathcal{L}} \|u - t\|\)

6.2 CVP 問(wèn)題的變體

6.2.1 近似 CVP

定義 6.2（****- 近似 CVP）：

給定格\(\mathcal{L}\)、目標(biāo)向量\(t\)和近似因子\(\gamma \geq 1\)，尋找向量\(v \in \mathcal{L}\)使得\(\|v - t\| \leq \gamma \cdot \min_{u \in \mathcal{L}} \|u - t\|\)。

6.2.2 判定 CVP

定義 6.3（判定 CVP）：

給定格\(\mathcal{L}\)、目標(biāo)向量\(t\)和實(shí)數(shù)\(d\)，判定是否存在向量\(v \in \mathcal{L}\)使得\(\|v - t\| \leq d\)。

6.2.3 BDD 問(wèn)題

定義 6.4（有界距離解碼 BDD）：

給定格\(\mathcal{L}\)、目標(biāo)向量\(t\)和實(shí)數(shù)\(\alpha\)，假設(shè)\(\min_{u \in \mathcal{L}} \|u - t\| \leq \alpha \cdot \lambda_1(\mathcal{L})\)，尋找向量\(v \in \mathcal{L}\)使得\(\|v - t\| = \min_{u \in \mathcal{L}} \|u - t\|\)。

6.3 CVP 與格陪集

6.3.1 格陪集的定義

定義 6.5（格陪集）：

給定格\(\mathcal{L}\)和向量\(t\)，格陪集定義為：

\(\mathcal{L} + t = \{ v + t \mid v \in \mathcal{L} \}\)

性質(zhì)：

格陪集是格的平移
不同的陪集要么不相交，要么完全相同
所有陪集構(gòu)成空間的一個(gè)劃分

6.3.2 CVP 的幾何意義

CVP 問(wèn)題等價(jià)于在格陪集中尋找離原點(diǎn)最近的點(diǎn)：

\(\min_{v \in \mathcal{L}} \|v - t\| = \min_{w \in \mathcal{L} + t} \|w\|\)

6.4 CVP 求解算法詳解

6.4.1 最近平面算法

算法 6.1（最近平面算法）：

def nearest_plane_algorithm(B, t):

   """最近平面算法求解CVP問(wèn)題"""

   n = B.shape[1]

   B = B.astype(np.float64).copy()

   t = t.astype(np.float64).copy()

   # Gram-Schmidt正交化

   B_star, mu = gram_schmidt(B)

   # 計(jì)算系數(shù)

   x = np.zeros(n, dtype=np.int64)

   current_t = t.copy()

   for i in range(n-1, -1, -1):

       # 計(jì)算投影系數(shù)

       c = np.dot(current_t, B_star[:, i]) / np.dot(B_star[:, i], B_star[:, i])

       x[i] = round(c)

       # 更新目標(biāo)向量

       current_t -= x[i] * B[:, i]

   # 計(jì)算最近向量

   nearest_vector = B @ x

   return nearest_vector, x

# 示例

basis = np.array([[3, 1], [1, 2]])

target = np.array([4.2, 3.7])

print("格基:")

print(basis)

print("目標(biāo)向量:", target)

nearest_vec, coeffs = nearest_plane_algorithm(basis, target)

print("\n最近格向量:", nearest_vec)

print("系數(shù):", coeffs)

print("距離:", np.linalg.norm(target - nearest_vec))

算法分析：

最近平面算法是一種貪心算法，時(shí)間復(fù)雜度為\(O(n^3)\)。該算法不能保證找到精確解，但在實(shí)踐中表現(xiàn)良好。

6.4.2 球形解碼算法

算法 6.2（球形解碼算法）：

def sphere_decoding(B, t, radius=None):

   """球形解碼算法求解CVP問(wèn)題"""

   n = B.shape[1]

   B = B.astype(np.float64).copy()

   t = t.astype(np.float64).copy()

   # 如果沒(méi)有指定半徑，使用最近平面算法的結(jié)果作為初始半徑

   if radius is None:

       initial_nearest, _ = nearest_plane_algorithm(B, t)

       radius = np.linalg.norm(initial_nearest - t) * 1.1  # 增加10%的余量

   # Gram-Schmidt正交化

   B_star, mu = gram_schmidt(B)

   # 預(yù)計(jì)算一些值

   inv_norms_sq = [1.0 / np.dot(B_star[:, i], B_star[:, i]) for i in range(n)]

   # 遞歸搜索函數(shù)

   best_vector = None

   best_distance_sq = float('inf')

   def search(i, current_sum, current_distance_sq):

       nonlocal best_vector, best_distance_sq

       if i == 0:

           # 找到一個(gè)候選向量

           if current_distance_sq < best_distance_sq:

               best_distance_sq = current_distance_sq

               best_vector = current_sum.copy()

           return

       # 計(jì)算當(dāng)前層的參數(shù)

       i -= 1

       residual = t - current_sum

       # 計(jì)算投影系數(shù)

       proj = np.dot(residual, B_star[:, i]) * inv_norms_sq[i]

       c = round(proj)

       # 計(jì)算距離貢獻(xiàn)

       distance_contribution = (proj - c)**2 * np.dot(B_star[:, i], B_star[:, i])

       # 剪枝：如果當(dāng)前距離已經(jīng)超過(guò)半徑，停止搜索

       new_distance_sq = current_distance_sq + distance_contribution

       if new_distance_sq > radius**2:

           return

       # 嘗試當(dāng)前系數(shù)

       new_sum = current_sum + c * B[:, i]

       search(i, new_sum, new_distance_sq)

       # 嘗試相鄰系數(shù)（c-1和c+1）

       for dc in [-1, 1]:

           new_c = c + dc

           distance_contribution = (proj - new_c)**2 * np.dot(B_star[:, i], B_star[:, i])

           new_distance_sq = current_distance_sq + distance_contribution

           if new_distance_sq <= radius**2:

               new_sum = current_sum + new_c * B[:, i]

               search(i, new_sum, new_distance_sq)

   # 開(kāi)始搜索

   search(n, np.zeros_like(t), 0.0)

   return best_vector, np.sqrt(best_distance_sq) if best_vector is not None else None

# 示例

basis = np.array([[3, 1], [1, 2]])

target = np.array([4.2, 3.7])

print("格基:")

print(basis)

print("目標(biāo)向量:", target)

sphere_nearest, sphere_dist = sphere_decoding(basis, target)

print("\n球形解碼找到的最近向量:", sphere_nearest)

print("距離:", sphere_dist)

算法分析：

球形解碼算法在有利情況下可以找到精確解，時(shí)間復(fù)雜度在最壞情況下為指數(shù)級(jí)，但在實(shí)踐中通常比枚舉算法更高效。

6.4.3 基于 LLL 的近似算法

算法 6.3（基于 LLL 的 CVP 近似求解）：

def cvp_lll_approx(B, t):

   """基于LLL算法的CVP近似求解"""

   # 對(duì)格基進(jìn)行LLL約化

   reduced_basis = lll_reduction(B)

   # 應(yīng)用最近平面算法

   nearest_vector, _ = nearest_plane_algorithm(reduced_basis, t)

   return nearest_vector, np.linalg.norm(nearest_vector - t)

# 示例

np.random.seed(42)

basis = np.random.randint(1, 100, size=(5, 5))

target = np.random.rand(5) * 50

lll_nearest, lll_dist = cvp_lll_approx(basis, target)

print("LLL近似最近向量:", lll_nearest)

print("距離:", lll_dist)

6.5 CVP 問(wèn)題的應(yīng)用

6.5.1 糾錯(cuò)碼譯碼

CVP 問(wèn)題對(duì)應(yīng)于線性碼的最大似然譯碼問(wèn)題。在通信系統(tǒng)中，接收端收到的信號(hào)可以看作是目標(biāo)向量，而所有可能的發(fā)送信號(hào)構(gòu)成一個(gè)格。

6.5.2 密碼分析

GGH 密碼體制的攻擊：

GGH 密碼體制的安全性基于 CVP 問(wèn)題的困難性。攻擊者可以通過(guò)求解 CVP 問(wèn)題來(lái)恢復(fù)明文。

攻擊算法：

def attack_ggh_ciphertext(B_pub, c):

   """攻擊GGH密碼體制的密文"""

   # GGH密文c = B_pub \* m + e，其中m是明文，e是小錯(cuò)誤向量

   # 攻擊思路：求解CVP問(wèn)題找到m + e，然后恢復(fù)m

   # 由于e是小向量，m + e接近格點(diǎn)

   m_plus_e, _ = sphere_decoding(B_pub, c)

   # 恢復(fù)明文m（假設(shè)e是小向量，這里簡(jiǎn)化處理）

   m = np.round(m_plus_e).astype(np.int64)

   return m

# 示例

np.random.seed(42)

n = 3

B_priv = np.array(\[\[1, 0, 0], \[0, 1, 0], \[0, 0, 1]])  # 私鑰（好基）

U = np.array(\[\[1, 2, 3], \[4, 5, 6], \[7, 8, 10]])  # 幺模矩陣

B_pub = B_priv @ U  # 公鑰（壞基）

m = np.array(\[1, 2, 3])  # 明文

e = np.array(\[0.1, -0.2, 0.3])  # 小錯(cuò)誤向量

c = B_pub @ m + e  # 密文

recovered_m = attack_ggh_ciphertext(B_pub, c)

print("原始明文:", m)

print("恢復(fù)明文:", recovered_m)

print("是否正確:", np.array_equal(m, recovered_m))

7. SIVP 最短獨(dú)立向量問(wèn)題研究

7.1 SIVP 問(wèn)題的嚴(yán)格定義

定義 7.1（最短獨(dú)立向量問(wèn)題 SIVP）：

給定格\(\mathcal{L}\)，尋找\(n\)個(gè)線性無(wú)關(guān)的格向量\(u_1, u_2, \ldots, u_n\)，使得每個(gè)向量的長(zhǎng)度都不超過(guò)\(\gamma \cdot \lambda_n(\mathcal{L})\)，其中\(\lambda_n(\mathcal{L})\)是第\(n\)個(gè)連續(xù)最小長(zhǎng)度。

精確 SIVP：

當(dāng)\(\gamma = 1\)時(shí)，問(wèn)題稱為精確 SIVP，要求找到\(n\)個(gè)線性無(wú)關(guān)的格向量，其中最長(zhǎng)向量的長(zhǎng)度等于\(\lambda_n(\mathcal{L})\)。

7.2 SIVP 與其他格問(wèn)題的關(guān)系

7.2.1 SIVP 與 SVP 的關(guān)系

定理 7.1：SVP 可以多項(xiàng)式時(shí)間歸約到 SIVP。

證明概要：

如果能夠求解 SIVP 問(wèn)題，那么可以通過(guò)以下步驟求解 SVP 問(wèn)題：

求解 SIVP 問(wèn)題得到\(n\)個(gè)線性無(wú)關(guān)的短向量
在這些向量中找到最短的一個(gè)，即為 SVP 問(wèn)題的解

推論：SIVP 至少與 SVP 一樣困難。

7.2.2 SIVP 與 CVP 的關(guān)系

定理 7.2：CVP 可以多項(xiàng)式時(shí)間歸約到 SIVP。

證明概要：

給定 CVP 實(shí)例\((\mathcal{L}, t)\)，可以構(gòu)造新的格\(\mathcal{L}' = \mathcal{L} \oplus \mathbb{Z}\)，然后求解 SIVP 問(wèn)題來(lái)找到 CVP 的解。

7.3 SIVP 求解算法

7.3.1 基于 LLL 的算法

算法 7.1（基于 LLL 的 SIVP 近似求解）：

def sivp_lll_approx(B):

   """基于LLL算法的SIVP近似求解"""

   reduced_basis = lll_reduction(B)

   return reduced_basis

# 示例

np.random.seed(42)

basis = np.random.randint(1, 100, size=(5, 5))

print("原始基:")

print(basis)

sivp_vectors = sivp_lll_approx(basis)

print("\nSIVP近似解（LLL約化基）:")

print(sivp_vectors)

print("\n向量長(zhǎng)度:", \[np.linalg.norm(col) for col in sivp_vectors.T])

7.3.2 基于 BKZ 的算法

算法 7.2（基于 BKZ 的 SIVP 近似求解）：

def sivp_bkz_approx(B, block_size=20):

   """基于BKZ算法的SIVP近似求解"""

   reduced_basis = bkz_reduction(B, block_size=block_size)

   return reduced_basis

# 示例

basis = np.random.randint(1, 100, size=(5, 5))

bkz_vectors = sivp_bkz_approx(basis, block_size=3)

print("BKZ約化基:")

print(bkz_vectors)

print("\n向量長(zhǎng)度:", \[np.linalg.norm(col) for col in bkz_vectors.T])

7.4 SIVP 在密碼學(xué)中的應(yīng)用

7.4.1 GPV08 陷門函數(shù)

背景：

2008 年，Gentry、Peikert 和 Vaikuntanathan 提出了基于 SIVP 困難性的陷門函數(shù)構(gòu)造，這是格密碼學(xué)中的重要突破。

構(gòu)造原理：

生成一個(gè)困難的格實(shí)例\(\mathcal{L}\)
嵌入一個(gè) "陷門"\(T\)，使得擁有陷門的人可以高效求解 SIVP 問(wèn)題
陷門的安全性基于 SIVP 問(wèn)題的困難性

算法 7.3（GPV08 陷門函數(shù)構(gòu)造）：

def generate_gpv_trapdoor(n=512, q=8192, sigma=3.2):

   """生成GPV08陷門函數(shù)"""

   rng = np.random.default_rng()

   # 生成隨機(jī)矩陣A

   A = rng.integers(0, q, size=(n, n), dtype=np.int64)

   # 生成陷門矩陣T（通常是一個(gè)好基）

   T = rng.normal(0, sigma, size=(n, n)).round().astype(np.int64) % q

   # 確保T是可逆的

   while np.linalg.det(T) % q == 0:

       T = rng.normal(0, sigma, size=(n, n)).round().astype(np.int64) % q

   # 計(jì)算公鑰矩陣B = A \* T^{-1} mod q

   T_inv = np.linalg.inv(T)

   T_inv_mod_q = np.round(T_inv \* q).astype(np.int64) % q  # 簡(jiǎn)化的模逆計(jì)算

   B = (A @ T_inv_mod_q) % q

   return (A, B), T  # (公鑰, 私鑰/陷門)

def gpv_sign(private_key, message, n=512, q=8192):

   """GPV簽名算法"""

   T = private_key

   # 將消息哈希到格點(diǎn)

   hash_val = hash(message)

   rng = np.random.default_rng(hash_val)

   c = rng.integers(0, q, size=n, dtype=np.int64)

   # 使用陷門求解SIVP問(wèn)題

   # 簡(jiǎn)化版本：直接使用T的列向量作為簽名

   signature = T @ c % q

   return signature

def gpv_verify(public_key, message, signature, n=512, q=8192):

   """GPV驗(yàn)證算法"""

   A, B = public_key

   # 驗(yàn)證 A \* signature ≡ B \* c mod q

   hash_val = hash(message)

   rng = np.random.default_rng(hash_val)

   c = rng.integers(0, q, size=n, dtype=np.int64)

   lhs = (A @ signature) % q

   rhs = (B @ c) % q

   return np.array_equal(lhs, rhs)

# 示例（使用小參數(shù)）

public_key, private_key = generate_gpv_trapdoor(n=4, q=16)

message = "Hello, GPV Trapdoor!"

signature = gpv_sign(private_key, message, n=4, q=16)

is_valid = gpv_verify(public_key, message, signature, n=4, q=16)

print("消息:", message)

print("簽名:", signature)

print("驗(yàn)證結(jié)果:", is_valid)

7.4.2 全同態(tài)加密

背景：

全同態(tài)加密（FHE）允許對(duì)加密數(shù)據(jù)進(jìn)行任意計(jì)算，而不需要先解密。格密碼為實(shí)現(xiàn) FHE 提供了理論基礎(chǔ)。

基于 SIVP 的 FHE 構(gòu)造：

Gentry 的第一個(gè) FHE 方案基于理想格上的 SIVP 困難性。該方案通過(guò)以下關(guān)鍵技術(shù)實(shí)現(xiàn)全同態(tài)加密：

密鑰切換：在不同的密鑰之間轉(zhuǎn)換密文
模切換：調(diào)整密文的模數(shù)以控制噪聲增長(zhǎng)
引導(dǎo)：通過(guò)解密電路對(duì)密文進(jìn)行 "刷新"，減少噪聲積累

7.5 SIVP 問(wèn)題的復(fù)雜性分析

7.5.1 計(jì)算復(fù)雜性

定理 7.3：精確 SIVP 問(wèn)題是 NP 困難的。

定理 7.4：對(duì)于任意常數(shù)\(\gamma \geq 1\)，\(\gamma\)- 近似 SIVP 問(wèn)題是 NP 困難的。

7.5.2 與其他問(wèn)題的比較

問(wèn)題	復(fù)雜性	應(yīng)用
SVP	NP 困難	格密碼安全性基礎(chǔ)
CVP	NP 困難	糾錯(cuò)碼、密碼分析
SIVP	NP 困難	陷門函數(shù)、FHE
LWE	平均情況困難	現(xiàn)代格密碼基礎(chǔ)

8. LWE 問(wèn)題及密碼學(xué)應(yīng)用

8.1 LWE 問(wèn)題的嚴(yán)格定義

定義 8.1（帶錯(cuò)誤學(xué)習(xí)問(wèn)題 LWE）：

給定正整數(shù)\(n, q\)，錯(cuò)誤分布\(\chi\)，以及\(m\)個(gè)樣本\((a_i, b_i) \in \mathbb{Z}_q^n \times \mathbb{Z}_q\)，其中：

\(b_i = \langle a_i, s \rangle + e_i \mod q\)

其中\(s \in \mathbb{Z}_q^n\)是秘密向量，\(e_i \in \mathbb{Z}_q\)是從\(\chi\)中采樣的錯(cuò)誤項(xiàng)。目標(biāo)是恢復(fù)秘密向量\(s\)。

8.2 LWE 問(wèn)題的變體

8.2.1 搜索型 vs 判定型 LWE

搜索型 LWE：

從樣本中恢復(fù)秘密向量\(s\)。

判定型 LWE：

區(qū)分 LWE 樣本與均勻隨機(jī)樣本。

定理 8.1：搜索型 LWE 和判定型 LWE 在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)等價(jià)。

8.2.2 Ring-LWE

定義 8.2（Ring-LWE）：

在多項(xiàng)式環(huán)\(R = \mathbb{Z}[x]/(x^n + 1)\)上定義的 LWE 問(wèn)題。

優(yōu)勢(shì)：

密鑰長(zhǎng)度更短
計(jì)算效率更高
適合硬件實(shí)現(xiàn)

8.2.3 Module-LWE

定義 8.3（Module-LWE）：

在模\(M_{n \times k}(R)\)上定義的 LWE 問(wèn)題，是 LWE 和 Ring-LWE 的中間形式。

優(yōu)勢(shì)：

提供更好的安全性
保持較好的效率
是 NIST 后量子密碼標(biāo)準(zhǔn)的基礎(chǔ)

8.3 LWE 問(wèn)題的困難性

8.3.1 Regev 歸約

定理 8.2（Regev 2005）：

LWE 問(wèn)題的平均情況困難性可以歸約到格上的最壞情況困難問(wèn)題（如 GapSVP 和 SIVP）。

歸約過(guò)程：

從格上的最壞情況困難問(wèn)題開(kāi)始
構(gòu)造對(duì)應(yīng)的 LWE 實(shí)例
證明如果 LWE 實(shí)例容易解決，則原始格問(wèn)題也容易解決

重要意義：

為格密碼提供了堅(jiān)實(shí)的安全性基礎(chǔ)
確保了格密碼方案的抗量子安全性
使得格密碼可以實(shí)際應(yīng)用

8.3.2 量子歸約

定理 8.3（Regev 2009）：

存在量子多項(xiàng)式時(shí)間算法將格上的最壞情況困難問(wèn)題歸約到 LWE 問(wèn)題。

8.4 基于 LWE 的加密方案

8.4.1 Regev 加密方案

算法 8.1（Regev 加密方案）：

密鑰生成：

def regev_keygen(n=512, q=8192, sigma=3.2):

   """Regev加密方案密鑰生成"""

   rng = np.random.default_rng()

   # 生成公鑰矩陣A

   A = rng.integers(0, q, size=(n, n), dtype=np.int64)

   # 生成秘密向量s

   s = rng.normal(0, sigma, n).round().astype(np.int64) % q

   # 生成錯(cuò)誤向量e

   e = rng.normal(0, sigma, n).round().astype(np.int64) % q

   # 計(jì)算公鑰向量b

   b = (A.T @ s + e) % q

   return (A, b), s

加密：

def regev_encrypt(public_key, message, n=512, q=8192):

   """Regev加密"""

   A, b = public_key

   rng = np.random.default_rng()

   # 將明文編碼為{0, 1} -> {0, q/2}

   m_encoded = message \* (q // 2)

   # 生成隨機(jī)向量x（小 Hamming 重量）

   x = np.zeros(n, dtype=np.int64)

   x[:n//10] = 1  # 10%的非零元素

   rng.shuffle(x)

   # 計(jì)算密文

   c1 = (A @ x) % q

   c2 = (b.T @ x + m_encoded) % q

   return (c1, c2)

解密：

def regev_decrypt(private_key, ciphertext, n=512, q=8192):

   """Regev解密"""

   s = private_key

   c1, c2 = ciphertext

   # 計(jì)算明文

   m_prime = (c2 - s.T @ c1) % q

   # 解碼明文

   if m_prime < q // 4 or m_prime > 3 \* q // 4:

       return 0

   else:

       return 1

# 示例

public_key, private_key = regev_keygen(n=64, q=256)

message = 1

print("原始消息:", message)

ciphertext = regev_encrypt(public_key, message, n=64, q=256)

print("密文c1長(zhǎng)度:", len(ciphertext\[0]))

print("密文c2:", ciphertext\[1])

decrypted = regev_decrypt(private_key, ciphertext, n=64, q=256)

print("解密消息:", decrypted)

8.4.2 Ring-LWE 加密方案

算法 8.2（Ring-LWE 加密方案）：

def polynomial_mult(a, b, n, q):

   """多項(xiàng)式乘法模(x^n + 1)和q"""

   result = np.zeros(n, dtype=np.int64)

   for i in range(n):

       if a[i] == 0:

           continue

       for j in range(n):

           if b[j] == 0:

               continue

           k = (i + j) % n

           sign = (-1) \*\* ((i + j) // n)  # 因?yàn)閤^n ≡ -1

           result[k] = (result[k] + a[i] \* b[j] \* sign) % q

   return result

def ring_lwe_keygen(n=256, q=8192, sigma=3.2):

   """Ring-LWE密鑰生成"""

   rng = np.random.default_rng()

   # 生成多項(xiàng)式環(huán)元素a

   a = rng.integers(0, q, size=n, dtype=np.int64)

   # 生成秘密多項(xiàng)式s

   s = rng.normal(0, sigma, n).round().astype(np.int64) % q

   # 生成錯(cuò)誤多項(xiàng)式e

   e = rng.normal(0, sigma, n).round().astype(np.int64) % q

   # 計(jì)算公鑰多項(xiàng)式b = a \* s + e mod q

   b = polynomial_mult(a, s, n, q)

   b = (b + e) % q

   return (a, b), s

def ring_lwe_encrypt(public_key, message, n=256, q=8192):

   """Ring-LWE加密"""

   a, b = public_key

   rng = np.random.default_rng()

   # 編碼明文

   m_encoded = np.zeros(n, dtype=np.int64)

   m_encoded[0] = message \* (q // 2)

   # 生成隨機(jī)多項(xiàng)式r

   r = rng.normal(0, 1.58, n).round().astype(np.int64) % q

   # 生成錯(cuò)誤多項(xiàng)式e1, e2

   e1 = rng.normal(0, 1.58, n).round().astype(np.int64) % q

   e2 = rng.normal(0, 1.58, n).round().astype(np.int64) % q

   # 計(jì)算密文

   c1 = (polynomial_mult(a, r, n, q) + e1) % q

   c2 = (polynomial_mult(b, r, n, q) + e2 + m_encoded) % q

   return (c1, c2)

def ring_lwe_decrypt(private_key, ciphertext, n=256, q=8192):

   """Ring-LWE解密"""

   s = private_key

   c1, c2 = ciphertext

   # 計(jì)算明文

   m_prime = (c2 - polynomial_mult(c1, s, n, q)) % q

   # 解碼明文

   if m_prime[0] < q // 4 or m_prime[0] > 3 \* q // 4:

       return 0

   else:

       return 1

# 示例（使用小參數(shù)）

public_key, private_key = ring_lwe_keygen(n=16, q=256)

message = 1

print("原始消息:", message)

ciphertext = ring_lwe_encrypt(public_key, message, n=16, q=256)

print("密文c1前5個(gè)系數(shù):", ciphertext\[0]\[:5])

print("密文c2前5個(gè)系數(shù):", ciphertext\[1]\[:5])

decrypted = ring_lwe_decrypt(private_key, ciphertext, n=16, q=256)

print("解密消息:", decrypted)

8.5 LWE 問(wèn)題的應(yīng)用

8.5.1 密鑰交換協(xié)議

CRYSTALS-Kyber：

基于 Module-LWE 的密鑰封裝機(jī)制，被 NIST 選為后量子密碼標(biāo)準(zhǔn)。

算法 8.3（簡(jiǎn)化版 Kyber）：

def kyber_keygen(n=256, q=3329, k=2):

   """簡(jiǎn)化版Kyber密鑰生成"""

   rng = np.random.default_rng()

   # 生成矩陣A

   A = rng.integers(0, q, size=(k\*n, k\*n), dtype=np.int64)

   # 生成秘密多項(xiàng)式向量s

   s = rng.normal(0, 1.58, size=(k\*n)).round().astype(np.int64) % q

   # 生成錯(cuò)誤多項(xiàng)式向量e

   e = rng.normal(0, 1.58, size=(k\*n)).round().astype(np.int64) % q

   # 計(jì)算公鑰

   t = (A @ s + e) % q

   return (A, t), s

def kyber_encaps(public_key, n=256, q=3329, k=2):

   """簡(jiǎn)化版Kyber封裝"""

   A, t = public_key

   rng = np.random.default_rng()

   # 生成隨機(jī)向量r

   r = rng.normal(0, 1.58, size=(k\*n)).round().astype(np.int64) % q

   # 生成錯(cuò)誤向量e1, e2

   e1 = rng.normal(0, 1.58, size=(k\*n)).round().astype(np.int64) % q

   e2 = rng.normal(0, 1.58, size=(k\*n)).round().astype(np.int64) % q

   # 計(jì)算密文

   u = (A.T @ r + e1) % q

   v = (t.T @ r + e2) % q

   # 生成會(huì)話密鑰（簡(jiǎn)化版）

   session_key = hash(str(v))

   return (u, v), session_key

def kyber_decaps(private_key, ciphertext, n=256, q=3329, k=2):

   """簡(jiǎn)化版Kyber解封裝"""

   s = private_key

   u, v = ciphertext

   # 恢復(fù)會(huì)話密鑰

   v_prime = (s.T @ u) % q

   session_key = hash(str(v_prime))

   return session_key

# 示例

public_key, private_key = kyber_keygen(n=32, q=256, k=1)

ciphertext, session_key = kyber_encaps(public_key, n=32, q=256, k=1)

recovered_key = kyber_decaps(private_key, ciphertext, n=32, q=256, k=1)

print("會(huì)話密鑰是否一致:", session_key == recovered_key)

print("會(huì)話密鑰示例:", session_key[:10], "...")

8.5.2 數(shù)字簽名

CRYSTALS-Dilithium：

基于 Module-LWE 的數(shù)字簽名方案，被 NIST 選為標(biāo)準(zhǔn)。

算法 8.4（簡(jiǎn)化版 Dilithium）：

def dilithium_keygen(n=256, q=8380417, k=3, l=2):

   """簡(jiǎn)化版Dilithium密鑰生成"""

   rng = np.random.default_rng()

   # 生成矩陣A

   A = rng.integers(0, q, size=(k\*n, l\*n), dtype=np.int64)

   # 生成秘密多項(xiàng)式向量s1, s2

   s1 = rng.normal(0, 1.58, size=(l\*n)).round().astype(np.int64) % q

   s2 = rng.normal(0, 1.58, size=(k\*n)).round().astype(np.int64) % q

   # 生成錯(cuò)誤多項(xiàng)式向量e

   e = rng.normal(0, 1.58, size=(k\*n)).round().astype(np.int64) % q

   # 計(jì)算公鑰

   t = (A @ s1 + e) % q

   return (A, t), (s1, s2)

def dilithium_sign(private_key, message, n=256, q=8380417, k=3, l=2):

   """簡(jiǎn)化版Dilithium簽名"""

   s1, s2 = private_key

   rng = np.random.default_rng()

   # 生成隨機(jī)向量y

   y = rng.normal(0, 1.58, size=(l\*n)).round().astype(np.int64) % q

   # 計(jì)算w = A @ y mod q

   w = (A @ y) % q

   # 壓縮w得到c

   c = hash(str(w) + message) % q

   # 計(jì)算簽名z = y + c \* s1 mod q

   z = (y + c \* s1) % q

   # 計(jì)算h = w - c \* t mod q

   h = (w - c \* t) % q

   return (z, h, c)

def dilithium_verify(public_key, message, signature, n=256, q=8380417, k=3, l=2):

   """簡(jiǎn)化版Dilithium驗(yàn)證"""

   A, t = public_key

   z, h, c = signature

   # 驗(yàn)證A @ z - c \* t ≡ h mod q

   lhs = (A @ z - c \* t) % q

   rhs = h % q

   # 驗(yàn)證c的正確性

   expected_c = hash(str(h) + message) % q

   return np.array_equal(lhs, rhs) and c == expected_c

# 全局變量（僅示例用）

A = None

t = None

# 示例

public_key, private_key = dilithium_keygen(n=32, q=256, k=1, l=1)

A, t = public_key

message = "Hello, Dilithium!"

signature = dilithium_sign(private_key, message, n=32, q=256, k=1, l=1)

is_valid = dilithium_verify(public_key, message, signature, n=32, q=256, k=1, l=1)

print("消息:", message)

print("簽名驗(yàn)證結(jié)果:", is_valid)

9. 格密碼的構(gòu)造原理與實(shí)現(xiàn)

9.1 格密碼的通用設(shè)計(jì)原理

9.1.1 陷門機(jī)制

基本思想：

格密碼系統(tǒng)的構(gòu)造核心是基于格基質(zhì)量差異的 "單向陷門" 機(jī)制。

"好基" 與 "壞基"：

好基：向量較短且接近正交，使得求解格問(wèn)題相對(duì)容易
壞基：向量較長(zhǎng)且高度相關(guān)，使得求解格問(wèn)題計(jì)算困難

陷門構(gòu)造：

生成一個(gè)困難的格實(shí)例
嵌入一個(gè) "陷門"（通常是一個(gè)好基）
公開(kāi)壞基作為公鑰
私鑰持有者可以利用陷門高效求解格問(wèn)題

9.1.2 平均情況到最壞情況的歸約

定義 9.1（平均情況到最壞情況的歸約）：

如果存在一個(gè)多項(xiàng)式時(shí)間算法能夠破解格密碼方案的某個(gè) "平均情況" 實(shí)例，那么就可以利用這個(gè)算法來(lái)解決格上某個(gè)核心難題的 "最壞情況" 實(shí)例。

重要意義：

為格密碼提供了最強(qiáng)的安全性保證
攻擊者面對(duì)的是平均情況的困難問(wèn)題
安全性不依賴于特定的隨機(jī)實(shí)例選擇

9.2 基于格的公鑰加密

9.2.1 通用構(gòu)造框架

算法 9.1（基于格的公鑰加密通用框架）：

密鑰生成：

def lattice_pke_keygen(n, q, gen_good_basis, gen_bad_basis):

   """基于格的公鑰加密密鑰生成"""

   # 生成好基（私鑰）

   good_basis = gen_good_basis(n, q)

   # 生成壞基（公鑰）

   bad_basis = gen_bad_basis(good_basis, n, q)

   return bad_basis, good_basis

加密：

def lattice_pke_encrypt(public_key, message, n, q, encode, embed):

   """基于格的公鑰加密"""

   # 編碼明文

   m_encoded = encode(message, q)

   # 將明文嵌入到格中

   ciphertext = embed(public_key, m_encoded, n, q)

   return ciphertext

解密：

def lattice_pke_decrypt(private_key, ciphertext, n, q, extract, decode):

   """基于格的公鑰解密"""

   # 從密文中提取編碼的明文

   m_encoded = extract(private_key, ciphertext, n, q)

   # 解碼明文

   message = decode(m_encoded, q)

   return message

9.2.2 具體實(shí)現(xiàn)示例

算法 9.2（基于 SIS 的公鑰加密）：

def gen_sis_good_basis(n, q):

   """生成SIS問(wèn)題的好基（單位矩陣）"""

   return np.eye(n, dtype=np.int64)

def gen_sis_bad_basis(good_basis, n, q):

   """生成SIS問(wèn)題的壞基"""

   rng = np.random.default_rng()

   # 生成隨機(jī)矩陣

   R = rng.integers(0, q, size=(n, n), dtype=np.int64)

   # 壞基 = 好基 \* R mod q

   bad_basis = (good_basis @ R) % q

   return bad_basis

def sis_encrypt(public_key, message, n, q):

   """SIS加密"""

   A = public_key

   rng = np.random.default_rng()

   # 編碼明文：0 -> 0, 1 -> q/2

   m = 0 if message == 0 else q // 2

   # 生成小的隨機(jī)向量x

   x = rng.integers(-1, 2, size=n, dtype=np.int64)  # {-1, 0, 1}

   # 計(jì)算密文：c = A^T x + m mod q

   c = (A.T @ x + m) % q

   return c

def sis_decrypt(private_key, ciphertext, n, q):

   """SIS解密"""

   S = private_key

   c = ciphertext

   # 計(jì)算 m' = c - S^T (A^T x) mod q

   # 由于 A = S R，所以 S^T A^T = R^T，因此 m' = c - R^T x mod q

   # 簡(jiǎn)化版本：直接返回c的符號(hào)

   m_prime = c % q

   # 解碼明文

   if m_prime < q // 4 or m_prime > 3 \* q // 4:

       return 0

   else:

       return 1

# 示例

n = 8

q = 257

public_key, private_key = lattice_pke_keygen(n, q, gen_sis_good_basis, gen_sis_bad_basis)

message = 1

print("原始消息:", message)

ciphertext = sis_encrypt(public_key, message, n, q)

print("密文:", ciphertext)

decrypted = sis_decrypt(private_key, ciphertext, n, q)

print("解密消息:", decrypted)

9.3 基于格的數(shù)字簽名

9.3.1 哈希 - 然后 - 采樣范式

基本思想：

對(duì)消息進(jìn)行哈希，得到格上的一個(gè)點(diǎn)
使用陷門采樣器從格中采樣一個(gè)短向量作為簽名
驗(yàn)證者檢查簽名是否是格中的短向量且與消息哈希一致

9.3.2 BLISS 簽名方案

算法 9.3（簡(jiǎn)化版 BLISS 簽名）：

def bliss_keygen(n=512, q=12289):

   """簡(jiǎn)化版BLISS密鑰生成"""

   rng = np.random.default_rng()

   # 生成多項(xiàng)式環(huán)元素a

   a = rng.integers(0, q, size=n, dtype=np.int64)

   # 生成秘密多項(xiàng)式s1, s2

   s1 = rng.normal(0, 1.0, n).round().astype(np.int64) % q

   s2 = rng.normal(0, 1.0, n).round().astype(np.int64) % q

   # 確保s1可逆

   while np.gcd(np.sum(s1), q) != 1:

       s1 = rng.normal(0, 1.0, n).round().astype(np.int64) % q

   # 計(jì)算公鑰多項(xiàng)式t = a \* s1^{-1} + s2 mod q

   # 簡(jiǎn)化計(jì)算：假設(shè)s1 = 1

   t = (a + s2) % q

   return (a, t), (s1, s2)

def bliss_sign(private_key, message, n=512, q=12289):

   """簡(jiǎn)化版BLISS簽名"""

   s1, s2 = private_key

   rng = np.random.default_rng()

   # 哈希消息得到挑戰(zhàn)

   hash_val = hash(message)

   rng = np.random.default_rng(hash_val)

   c = rng.integers(0, q, size=n, dtype=np.int64)

   # 生成隨機(jī)多項(xiàng)式r

   r = rng.normal(0, 1.0, n).round().astype(np.int64) % q

   # 計(jì)算簽名

   e1 = (r + c \* s1) % q

   e2 = (polynomial_mult(a, r, n, q) + c \* s2) % q

   return (e1, e2)

def bliss_verify(public_key, message, signature, n=512, q=12289):

   """簡(jiǎn)化版BLISS驗(yàn)證"""

   a, t = public_key

   e1, e2 = signature

   # 哈希消息得到挑戰(zhàn)

   hash_val = hash(message)

   rng = np.random.default_rng(hash_val)

   c = rng.integers(0, q, size=n, dtype=np.int64)

   # 驗(yàn)證 e2 ≡ a \* e1 - c \* t mod q

   lhs = e2 % q

   rhs = (polynomial_mult(a, e1, n, q) - c \* t) % q

   # 檢查簽名長(zhǎng)度

   e1_norm = np.linalg.norm(e1)

   e2_norm = np.linalg.norm(e2)

   return np.array\_equal(lhs, rhs) and e1\_norm < 3\*np.sqrt(n) and e2\_norm < 3\*np.sqrt(n)

# 全局變量（僅示例用）

a = None

# 示例

public_key, private_key = bliss_keygen(n=16, q=257)

a, t = public_key

message = "Hello, BLISS!"

signature = bliss_sign(private_key, message, n=16, q=257)

is_valid = bliss_verify(public_key, message, signature, n=16, q=257)

print("消息:", message)

print("簽名驗(yàn)證結(jié)果:", is_valid)

9.4 格密碼的安全性分析

9.4.1 抗量子安全性

定理 9.2：

目前已知的量子算法對(duì)格問(wèn)題沒(méi)有多項(xiàng)式時(shí)間的求解算法。

證據(jù)：

Shor 算法不能有效解決格問(wèn)題
格問(wèn)題的量子算法復(fù)雜度仍然是指數(shù)級(jí)
格密碼被認(rèn)為是抗量子的

9.4.2 側(cè)信道攻擊防御

常見(jiàn)攻擊：

計(jì)時(shí)攻擊
功耗分析
故障注入攻擊

防御措施：

def constant_time_add(a, b, q):

   """常數(shù)時(shí)間加法"""

   result = (a + b) % q

   # 確保操作時(shí)間不依賴于輸入值

   dummy = np.random.randint(0, q)

   result = (result + dummy) % q

   result = (result - dummy) % q

   return result

def masked_mult(a, b, mask, q):

   """掩碼乘法"""

   # 應(yīng)用掩碼

   a_masked = (a + mask) % q

   b_masked = (b + mask) % q

  

   # 計(jì)算乘積

   product = (a_masked \* b_masked) % q

  

   # 移除掩碼

   result = (product - a \* mask - b \* mask - mask \* mask) % q

  

   return result

# 示例

q = 257

a = 123

b = 45

mask = 78

# 普通乘法

normal_result = (a \* b) % q

# 掩碼乘法

masked_result = masked_mult(a, b, mask, q)

print("普通乘法結(jié)果:", normal_result)

print("掩碼乘法結(jié)果:", masked_result)

print("結(jié)果是否一致:", normal_result == masked_result)

10. NIST 后量子密碼標(biāo)準(zhǔn)詳解

10.1 標(biāo)準(zhǔn)化進(jìn)程概述

10.1.1 標(biāo)準(zhǔn)化背景

量子威脅：

Shor 算法能夠在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)解決大數(shù)分解和離散對(duì)數(shù)問(wèn)題，威脅現(xiàn)有密碼體系的安全。

標(biāo)準(zhǔn)化目標(biāo)：

開(kāi)發(fā)能夠抵御量子計(jì)算機(jī)攻擊的新一代密碼算法標(biāo)準(zhǔn)。

10.1.2 標(biāo)準(zhǔn)化時(shí)間線

時(shí)間	事件	意義
2016 年 12 月	NIST 發(fā)布后量子密碼標(biāo)準(zhǔn)化請(qǐng)求	啟動(dòng)標(biāo)準(zhǔn)化進(jìn)程
2017 年 11 月	收到 69 個(gè)候選算法	廣泛征集全球方案
2019 年 1 月	23 個(gè)算法進(jìn)入第二輪評(píng)估	初步篩選
2020 年 7 月	15 個(gè)算法進(jìn)入第三輪評(píng)估	深入評(píng)估
2022 年 7 月	宣布四個(gè)算法為標(biāo)準(zhǔn)化候選	確定最終候選
2024 年 2 月	發(fā)布 FIPS 203、204、205 標(biāo)準(zhǔn)	正式標(biāo)準(zhǔn)化

10.2 CRYSTALS-Kyber 詳解

10.2.1 算法概述

CRYSTALS-Kyber是基于 Module-LWE 的密鑰封裝機(jī)制，被 NIST 選為后量子時(shí)代的標(biāo)準(zhǔn)密鑰封裝算法。

主要特點(diǎn)：

安全性基于 Module-LWE 問(wèn)題的困難性
密鑰長(zhǎng)度適中（公鑰約 1KB，私鑰約 2KB）
計(jì)算效率高，適合實(shí)際部署

10.2.2 算法參數(shù)

標(biāo)準(zhǔn)化參數(shù)集：

參數(shù)集	安全等級(jí)	n	k	q	公鑰大小	私鑰大小	密文大小
Kyber-512	128 位	256	2	3329	800 字節(jié)	1632 字節(jié)	768 字節(jié)
Kyber-768	192 位	256	3	3329	1184 字節(jié)	2400 字節(jié)	1088 字節(jié)
Kyber-1024	256 位	256	4	3329	1568 字節(jié)	3168 字節(jié)	1536 字節(jié)

10.2.3 完整實(shí)現(xiàn)

class Kyber:

   def __init__(self, params='kyber768'):

       """初始化Kyber參數(shù)"""

       param_sets = {

           'kyber512': {'n': 256, 'k': 2, 'q': 3329, 'du': 10, 'dv': 4},

           'kyber768': {'n': 256, 'k': 2, 'q': 3329, 'du': 10, 'dv': 4},  # 實(shí)際k=3，簡(jiǎn)化為k=2

           'kyber1024': {'n': 256, 'k': 4, 'q': 3329, 'du': 11, 'dv': 5}

       }


       self.params = param_sets[params]

       self.n = self.params['n']

       self.k = self.params['k']

       self.q = self.params['q']

       self.du = self.params['du']

       self.dv = self.params['dv']


   def poly_getnoise(self, eta, n):

       """生成多項(xiàng)式噪聲"""

       rng = np.random.default_rng()

       return rng.normal(0, eta, n).round().astype(np.int64) % self.q


   def poly_mult(self, a, b):

       """多項(xiàng)式乘法模(x^n + 1)和q"""

       result = np.zeros(self.n, dtype=np.int64)

       for i in range(self.n):

           if a[i] == 0:

               continue

           for j in range(self.n):

               if b[j] == 0:

                   continue

               k = (i + j) % self.n

               sign = (-1) \*\* ((i + j) // self.n)

               result[k] = (result[k] + a[i] \* b[j] \* sign) % self.q

       return result


   def matrix_mult(self, A, b):

       """矩陣-向量乘法"""

       result = np.zeros(self.k \* self.n, dtype=np.int64)

       for i in range(self.k):

           for j in range(self.k):

               result[i\*self.n : (i+1)\*self.n] = (

                   result[i\*self.n : (i+1)\*self.n] +

                   self.poly_mult(A\[i\*self.n : (i+1)\*self.n, j\*self.n : (j+1)\*self.n],

                                 b\[j\*self.n : (j+1)\*self.n])

               ) % self.q

       return result


   def keygen(self):

       """密鑰生成"""

       rng = np.random.default_rng()

       # 生成矩陣A

       A = rng.integers(0, self.q, size=(self.k\*self.n, self.k\*self.n), dtype=np.int64)

       # 生成秘密向量s

       s = np.zeros(self.k\*self.n, dtype=np.int64)

       for i in range(self.k):

           s[i\*self.n : (i+1)\*self.n] = self.poly_getnoise(1.58, self.n)

       # 生成錯(cuò)誤向量e

       e = np.zeros(self.k\*self.n, dtype=np.int64)

       for i in range(self.k):

           e[i\*self.n : (i+1)\*self.n] = self.poly_getnoise(1.58, self.n)

       # 計(jì)算公鑰t = A \* s + e

       t = self.matrix_mult(A, s)

       t = (t + e) % self.q

       return (A, t), s


   def encaps(self, pk):

       """封裝"""

       A, t = pk

       rng = np.random.default_rng()

       # 生成隨機(jī)向量r

       r = np.zeros(self.k\*self.n, dtype=np.int64)

       for i in range(self.k):

           r[i\*self.n : (i+1)\*self.n] = self.poly\_getnoise(1.58, self.n)


       # 生成錯(cuò)誤向量e1, e2

       e1 = np.zeros(self.k\*self.n, dtype=np.int64)

       for i in range(self.k):

           e1[i\*self.n : (i+1)\*self.n] = self.poly_getnoise(1.58, self.n)


       e2 = np.zeros(self.k\*self.n, dtype=np.int64)

       for i in range(self.k):

           e2[i\*self.n : (i+1)\*self.n] = self.poly_getnoise(1.58, self.n)


       # 計(jì)算密文

       u = self.matrix_mult(A.T, r)

       u = (u + e1) % self.q


       v = self.matrix_mult(t.T, r)

       v = (v + e2) % self.q


       # 生成會(huì)話密鑰

       session_key = hash(str(v))


       return (u, v), session_key


   def decaps(self, sk, ct):

       """解封裝"""

       s = sk

       u, v = ct


       # 恢復(fù)會(huì)話密鑰

       v_prime = self.matrix_mult(s.T, u)

       v_prime = v_prime % self.q


       session_key = hash(str(v_prime))


       return session_key

# 示例

kyber = Kyber('kyber512')

pk, sk = kyber.keygen()

ct, key = kyber.encaps(pk)

recovered_key = kyber.decaps(sk, ct)

print("Kyber示例:")

print("密鑰是否一致:", key == recovered_key)

print("公鑰大小:", pk[0].size + pk[1].size, "元素")

print("私鑰大小:", sk.size, "元素")

print("密文大小:", ct[0].size + ct[1].size, "元素")

10.3 CRYSTALS-Dilithium 詳解

10.3.1 算法概述

CRYSTALS-Dilithium是基于 Module-LWE 的數(shù)字簽名方案，被 NIST 選為標(biāo)準(zhǔn)。

主要特點(diǎn)：

安全性基于 Module-LWE 問(wèn)題的困難性
簽名大小適中（約 2KB-4KB）
驗(yàn)證速度快，適合大規(guī)模應(yīng)用

10.3.2 算法參數(shù)

標(biāo)準(zhǔn)化參數(shù)集：

參數(shù)集	安全等級(jí)	n	k	l	q	簽名大小	公鑰大小	私鑰大小
Dilithium-2	128 位	256	3	2	8380417	2420 字節(jié)	1312 字節(jié)	2528 字節(jié)
Dilithium-3	192 位	256	4	3	8380417	3288 字節(jié)	1696 字節(jié)	3392 字節(jié)
Dilithium-5	256 位	256	5	4	8380417	4595 字節(jié)	2080 字節(jié)	4160 字節(jié)

10.3.3 完整實(shí)現(xiàn)

class Dilithium:

   def __init__(self, params='dilithium2'):

       """初始化Dilithium參數(shù)"""

       param_sets = {

           'dilithium2': {'n': 256, 'k': 3, 'l': 2, 'q': 8380417, 'eta': 2, 'gamma1': 1 << 17, 'gamma2': 1 << 15},

           'dilithium3': {'n': 256, 'k': 4, 'l': 3, 'q': 8380417, 'eta': 2, 'gamma1': 1 << 17, 'gamma2': 1 << 15},

           'dilithium5': {'n': 256, 'k': 5, 'l': 4, 'q': 8380417, 'eta': 2, 'gamma1': 1 << 17, 'gamma2': 1 << 15}

       }


       self.params = param_sets[params]

       self.n = self.params['n']

       self.k = self.params['k']

       self.l = self.params['l']

       self.q = self.params['q']

       self.eta = self.params['eta']

       self.gamma1 = self.params['gamma1']

       self.gamma2 = self.params['gamma2']


   def poly_getnoise(self, eta):

       """生成多項(xiàng)式噪聲"""

       rng = np.random.default_rng()

       return rng.normal(0, eta, self.n).round().astype(np.int64) % self.q


   def poly_mult(self, a, b):

       """多項(xiàng)式乘法模(x^n + 1)和q"""

       result = np.zeros(self.n, dtype=np.int64)

       for i in range(self.n):

           if a[i] == 0:

               continue

           for j in range(self.n):

               if b[j] == 0:

                   continue

               k = (i + j) % self.n

               sign = (-1) \*\* ((i + j) // self.n)

               result[k] = (result[k] + a[i] \* b[j] \* sign) % self.q

       return result


   def matrix_mult(self, A, b):

       """矩陣-向量乘法"""

       result = np.zeros(self.k \* self.n, dtype=np.int64)

       for i in range(self.k):

           for j in range(self.l):

               result[i\*self.n : (i+1)\*self.n] = (

                   result[i\*self.n : (i+1)\*self.n] +

                   self.poly_mult(A\[i\*self.n : (i+1)\*self.n, j\*self.n : (j+1)\*self.n],

                                 b[j\*self.n : (j+1)\*self.n])

               ) % self.q

       return result


   def keygen(self):

       """密鑰生成"""

       rng = np.random.default_rng()

       # 生成矩陣A

       A = rng.integers(0, self.q, size=(self.k\*self.n, self.l\*self.n), dtype=np.int64)

       # 生成秘密向量s1, s2

       s1 = np.zeros(self.l\*self.n, dtype=np.int64)

       for i in range(self.l):

           s1[i\*self.n : (i+1)\*self.n] = self.poly_getnoise(self.eta)

       s2 = np.zeros(self.k\*self.n, dtype=np.int64)

       for i in range(self.k):

           s2[i\*self.n : (i+1)\*self.n] = self.poly_getnoise(self.eta)

       # 生成錯(cuò)誤向量e

       e = np.zeros(self.k\*self.n, dtype=np.int64)

       for i in range(self.k):

           e[i\*self.n : (i+1)\*self.n] = self.poly_getnoise(self.eta)

       # 計(jì)算公鑰t = A \* s1 + e

       t = self.matrix_mult(A, s1)

       t = (t + e) % self.q

       return (A, t), (s1, s2)

   def sign(self, sk, message):

       """簽名"""

       s1, s2 = sk

       rng = np.random.default_rng()

       # 生成隨機(jī)向量y

       y = np.zeros(self.l\*self.n, dtype=np.int64)

       for i in range(self.l):

           y[i\*self.n : (i+1)\*self.n] = self.poly_getnoise(self.gamma1)

       # 計(jì)算w = A \* y

       w = self.matrix_mult(self.A, y)

       # 壓縮w得到c

       c = hash(str(w) + message) % self.q

       # 計(jì)算簽名z = y + c \* s1

       z = (y + c \* s1) % self.q

       # 計(jì)算h = w - c \* self.t

       h = (w - c \* self.t) % self.q

       return (z, h, c)

   def verify(self, pk, message, signature):

       """驗(yàn)證"""

       A, t = pk

       z, h, c = signature

       # 驗(yàn)證A \* z - c \* t ≡ h mod q

       lhs = self.matrix_mult(A, z)

       lhs = (lhs - c \* t) % self.q

       rhs = h % self.q

       # 驗(yàn)證c的正確性

       expected_c = hash(str(h) + message) % self.q

       return np.array_equal(lhs, rhs) and c == expected_c

# 示例

dilithium = Dilithium('dilithium2')

pk, sk = dilithium.keygen()

dilithium.A, dilithium.t = pk  # 為簽名方法設(shè)置A和t

message = "Hello, Dilithium!"

signature = dilithium.sign(sk, message)

is_valid = dilithium.verify(pk, message, signature)

print("Dilithium示例:")

print("消息:", message)

print("簽名驗(yàn)證結(jié)果:", is_valid)

print("簽名大小:", len(signature[0]) + len(signature[1]) + 1, "元素")

10.4 FALCON 詳解

10.4.1 算法概述

FALCON是基于 NTRU 格的數(shù)字簽名方案，被 NIST 選為標(biāo)準(zhǔn)。

主要特點(diǎn)：

簽名尺寸小（約 600-1200 字節(jié)）
基于 NTRU 格，效率高
適合帶寬受限的應(yīng)用

10.4.2 算法參數(shù)

標(biāo)準(zhǔn)化參數(shù)集：

參數(shù)集	安全等級(jí)	n	q	簽名大小	公鑰大小	私鑰大小
FALCON-512	128 位	512	12289	666 字節(jié)	897 字節(jié)	1793 字節(jié)
FALCON-1024	256 位	1024	12289	1280 字節(jié)	1793 字節(jié)	3585 字節(jié)

11. 全同態(tài)加密與高級(jí)應(yīng)用

11.1 全同態(tài)加密概述

11.1.1 基本概念

定義 11.1（全同態(tài)加密 FHE）：

全同態(tài)加密允許對(duì)加密數(shù)據(jù)進(jìn)行任意計(jì)算，而不需要先解密。

形式化定義：

一個(gè)全同態(tài)加密方案由以下算法組成：

\(\text{KeyGen}(\lambda)\)：生成密鑰對(duì)\((pk, sk)\)
\(\text{Enc}(pk, m)\)：使用公鑰\(pk\)加密明文\(m\)得到密文\(c\)
\(\text{Dec}(sk, c)\)：使用私鑰\(sk\)解密密文\(c\)得到明文\(m\)
\(\text{Eval}(pk, f, c_1, \ldots, c_k)\)：對(duì)密文\(c_1, \ldots, c_k\)應(yīng)用函數(shù)\(f\)得到新密文\(c\)

滿足正確性：\(\text{Dec}(sk, \text{Eval}(pk, f, \text{Enc}(pk, m_1), \ldots, \text{Enc}(pk, m_k))) = f(m_1, \ldots, m_k)\)

11.1.2 FHE 的發(fā)展歷程

年份	研究者	重要貢獻(xiàn)	意義
2009	Gentry	提出第一個(gè) FHE 方案	實(shí)現(xiàn)密碼學(xué) "圣杯"
2011	Brakerski-Vaikuntanathan	提出基于 Ring-LWE 的 FHE 方案	提高效率，實(shí)用性增強(qiáng)
2012	Brakerski-Fan-Vercauteren	提出 BFV 方案	簡(jiǎn)化 bootstrapping 過(guò)程
2016	Cheon-Kim-Kim-Song	提出 CKKS 方案	支持實(shí)數(shù)運(yùn)算
2018	Chillotti-Gama-Georgieva-Izabachène	提出 TFHE 方案	快速完全同態(tài)加密

11.2 基于格的 FHE 方案

11.2.1 BFV 方案

**BFV（Brakerski-Fan-Vercauteren）** 方案是基于 Ring-LWE 的全同態(tài)加密方案。

算法 11.1（簡(jiǎn)化版 BFV）：

class BFV:

   def __init__(self, n=256, q=8192, t=2):

       """初始化BFV參數(shù)"""

       self.n = n

       self.q = q

       self.t = t

       self.poly_mod = np.array(\[1] + \[0]\*(n-1) + \[1])  # x^n + 1


   def poly_mult(self, a, b):

       """多項(xiàng)式乘法模(x^n + 1)和q"""

       result = np.zeros(self.n, dtype=np.int64)

       for i in range(self.n):

           if a[i] == 0:

               continue

           for j in range(self.n):

               if b[j] == 0:

                   continue

               k = (i + j) % self.n

               sign = (-1) \*\* ((i + j) // self.n)

               result[k] = (result[k] + a\[i] \* b\[j] \* sign) % self.q

       return result


   def keygen(self):

       """密鑰生成"""

       rng = np.random.default_rng()

       # 生成秘密密鑰s

       s = rng.integers(0, 2, size=self.n, dtype=np.int64)  # 二進(jìn)制秘密密鑰

       # 生成公鑰a

       a = rng.integers(0, self.q, size=self.n, dtype=np.int64)

       # 生成錯(cuò)誤e

       e = rng.normal(0, 1.58, self.n).round().astype(np.int64) % self.q

       # 計(jì)算公鑰b = -a \* s + e mod q

       b = (-self.poly_mult(a, s) + e) % self.q

       return (a, b), s

   def encrypt(self, pk, m):

       """加密"""

       a, b = pk

       rng = np.random.default_rng()

       # 生成隨機(jī)多項(xiàng)式r

       r = rng.integers(0, 2, size=self.n, dtype=np.int64)

       # 生成錯(cuò)誤多項(xiàng)式e1, e2

       e1 = rng.normal(0, 1.58, self.n).round().astype(np.int64) % self.q

       e2 = rng.normal(0, 1.58, self.n).round().astype(np.int64) % self.q

       # 計(jì)算密文

       c1 = (self.poly_mult(a, r) + e1) % self.q

       c2 = (self.poly_mult(b, r) + e2 + m \* (self.q // self.t)) % self.q

       return (c1, c2)

   def decrypt(self, sk, c):

       """解密"""

       s = sk

       c1, c2 = c

       # 計(jì)算明文

       m_prime = (c2 + self.poly_mult(c1, s)) % self.q

       # 解碼明文

       m = round(m_prime \* self.t / self.q) % self.t

       return m

   def add(self, c1, c2):

       """密文加法"""

       return ((c1\[0] + c2\[0]) % self.q, (c1\[1] + c2\[1]) % self.q)

   def multiply(self, c1, c2):

       """密文乘法（簡(jiǎn)化版）"""

       # 實(shí)際的乘法需要更復(fù)雜的重線性化技術(shù)

       return ((c1\[0] \* c2\[0]) % self.q, (c1\[1] \* c2\[1]) % self.q)

# 示例

bfv = BFV(n=16, q=256, t=2)

pk, sk = bfv.keygen()

# 加密兩個(gè)比特

m1 = 1

m2 = 0

c1 = bfv.encrypt(pk, m1)

c2 = bfv.encrypt(pk, m2)

# 密文加法

c_add = bfv.add(c1, c2)

m_add = bfv.decrypt(sk, c_add)

print("FHE示例:")

print(f"{m1} + {m2} = {m_add}")

# 密文乘法（簡(jiǎn)化版）

c_mul = bfv.multiply(c1, c2)

m_mul = bfv.decrypt(sk, c_mul)

print(f"{m1} \* {m2} = {m_mul}")

11.2.2 CKKS 方案

**CKKS（Cheon-Kim-Kim-Song）** 方案支持實(shí)數(shù)運(yùn)算，適合機(jī)器學(xué)習(xí)應(yīng)用。

主要特點(diǎn)：

支持實(shí)數(shù)和復(fù)數(shù)運(yùn)算
提供近似同態(tài)加密
適合隱私保護(hù)機(jī)器學(xué)習(xí)

11.3 零知識(shí)證明系統(tǒng)

11.3.1 基本概念

定義 11.2（零知識(shí)證明 ZKP）：

零知識(shí)證明允許一方向另一方證明某個(gè)陳述是正確的，而不泄露任何額外信息。

性質(zhì)：

完備性：誠(chéng)實(shí)的證明者能夠說(shuō)服誠(chéng)實(shí)的驗(yàn)證者
可靠性：作弊的證明者不能欺騙誠(chéng)實(shí)的驗(yàn)證者
零知識(shí)性：驗(yàn)證者除了知道陳述為真外，得不到任何其他信息

11.3.2 基于格的零知識(shí)證明

算法 11.2（格基零知識(shí)證明）：

class LatticeZKP:

   def __init__(self, n=256, q=8192):

       """初始化參數(shù)"""

       self.n = n

       self.q = q

   def keygen(self):

       """生成證明者密鑰"""

       rng = np.random.default_rng()

       # 生成好基（證明者私有）

       good_basis = rng.normal(0, 1.0, size=(self.n, self.n)).round().astype(np.int64) % self.q

       # 生成壞基（公開(kāi)）

       U = rng.integers(0, self.q, size=(self.n, self.n), dtype=np.int64)

       bad_basis = (good_basis @ U) % self.q

       return bad_basis, good_basis

   def prove(self, secret_basis, x):

       """證明x在格中"""

       rng = np.random.default_rng()

       # 生成隨機(jī)偏移r

       r = rng.integers(-2, 3, size=self.n, dtype=np.int64)  # {-2, -1, 0, 1, 2}

       # 計(jì)算承諾a = secret_basis \* r

       a = (secret_basis @ r) % self.q

       # 生成挑戰(zhàn)e

       e = rng.integers(0, self.q, dtype=np.int64)

       # 計(jì)算響應(yīng)z = r + e \* x

       z = (r + e \* x) % self.q

       return (a, e, z)

   def verify(self, public_basis, x, proof):

       """驗(yàn)證證明"""

       a, e, z = proof

       # 驗(yàn)證 public_basis \* z ≡ a + e \* x mod q

       lhs = (public_basis @ z) % self.q

       rhs = (a + e \* x) % self.q

       return np.array_equal(lhs, rhs)

# 示例

zkp = LatticeZKP(n=4, q=257)

public_basis, secret_basis = zkp.keygen()

# 證明者知道x在格中

x = np.array(\[1, 2, 3, 4], dtype=np.int64)

proof = zkp.prove(secret_basis, x)

# 驗(yàn)證者驗(yàn)證

is_valid = zkp.verify(public_basis, x, proof)

print("零知識(shí)證明示例:")

print("證明是否有效:", is_valid)

11.4 身份基加密

11.4.1 基本概念

定義 11.3（身份基加密 IBE）：

用戶的公鑰可以是任何唯一標(biāo)識(shí)符（如電子郵件地址），私鑰由可信第三方生成。

優(yōu)勢(shì)：

簡(jiǎn)化密鑰管理
不需要證書
適合大規(guī)模部署

11.4.2 基于格的 IBE 方案

算法 11.3（基于格的 IBE）：

class LatticeIBE:

   def __init__(self, n=256, q=8192):

       """初始化IBE參數(shù)"""

       self.n = n

       self.q = q

   def setup(self):

       """系統(tǒng)建立"""

       rng = np.random.default_rng()

       # 生成主密鑰

       master_key = rng.integers(0, self.q, size=self.n, dtype=np.int64)

       # 生成公鑰參數(shù)

       public_params = rng.integers(0, self.q, size=(self.n, self.n), dtype=np.int64)

       return public_params, master_key

   def extract(self, public_params, master_key, identity):

       """提取私鑰"""

       # 將身份轉(zhuǎn)換為向量

       id_hash = hash(identity)

       rng = np.random.default_rng(id_hash)

       id_vector = rng.integers(0, self.q, size=self.n, dtype=np.int64)

       # 計(jì)算私鑰

       private_key = (master_key + id_vector) % self.q

       return private_key

   def encrypt(self, public_params, identity, message):

       """加密"""

       rng = np.random.default_rng()

       # 將身份轉(zhuǎn)換為向量

       id_hash = hash(identity)

       id_rng = np.random.default_rng(id_hash)

       id_vector = id_rng.integers(0, self.q, size=self.n, dtype=np.int64)

       # 生成隨機(jī)向量r

       r = rng.integers(0, 2, size=self.n, dtype=np.int64)

       # 計(jì)算密文

       c1 = (public_params @ r) % self.q

       c2 = (id_vector.T @ r + message \* (self.q // 2)) % self.q

       return (c1, c2)

   def decrypt(self, private_key, ciphertext):

       """解密"""

       c1, c2 = ciphertext

       # 計(jì)算明文

       m_prime = (c2 - private_key.T @ c1) % self.q

       # 判斷明文

       if m_prime < self.q // 4 or m_prime > 3 \* self.q // 4:

           return 0

       else:

           return 1

# 示例

ibe = LatticeIBE(n=8, q=256)

public_params, master_key = ibe.setup()

# 用戶身份

identity = "alice@example.com"

# 提取私鑰

private_key = ibe.extract(public_params, master_key, identity)

# 加密消息

message = 1

ciphertext = ibe.encrypt(public_params, identity, message)

# 解密消息

decrypted = ibe.decrypt(private_key, ciphertext)

print("IBE示例:")

print("用戶身份:", identity)

print("原始消息:", message)

print("解密消息:", decrypted)

12. 最新研究進(jìn)展與技術(shù)突破

12.1 西浦團(tuán)隊(duì) SVP 突破分析

12.1.1 突破概述

西浦團(tuán)隊(duì)成果：

2025 年，西交利物浦大學(xué)丁津泰教授團(tuán)隊(duì)成功破解了 200 維 SVP 難題，刷新了全球紀(jì)錄。

技術(shù)創(chuàng)新點(diǎn)：

混合算法設(shè)計(jì)：結(jié)合了篩法和深度學(xué)習(xí)技術(shù)
硬件加速：使用專門的 GPU 集群進(jìn)行計(jì)算
內(nèi)存優(yōu)化：采用創(chuàng)新的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)和內(nèi)存管理技術(shù)

12.1.2 對(duì)格密碼的影響

安全參數(shù)重新評(píng)估：

原本認(rèn)為安全的參數(shù)可能需要調(diào)整
格密碼的安全邊際需要重新計(jì)算
推動(dòng)了新的格密碼方案設(shè)計(jì)

新的研究方向：

開(kāi)發(fā)更強(qiáng)的格基約化算法
設(shè)計(jì)更安全的格密碼方案
探索新的格困難問(wèn)題

12.2 清華大學(xué)量子算法研究

12.2.1 研究背景

量子算法對(duì)格問(wèn)題的影響：

清華大學(xué)交叉信息研究院陳一雷助理教授團(tuán)隊(duì)在格問(wèn)題的量子算法研究方面取得重要進(jìn)展。

12.2.2 主要成果

量子算法改進(jìn)：

提出了求解 LWE 及等價(jià)格問(wèn)題的量子算法
聲稱能夠有效解決格上的困難問(wèn)題
如果正確，將是自 Shor 算法以來(lái)最重要的量子算法突破

技術(shù)細(xì)節(jié)：

利用量子傅里葉變換加速格基約化
設(shè)計(jì)新的量子電路來(lái)求解線性方程組
在特定條件下實(shí)現(xiàn)多項(xiàng)式時(shí)間復(fù)雜度

12.2.3 研究意義

安全性評(píng)估：

為格密碼的抗量子安全性提供了更準(zhǔn)確的評(píng)估。

未來(lái)方向：

開(kāi)發(fā)更安全的格密碼方案
設(shè)計(jì)抗量子的格密碼參數(shù)
探索新的格基密碼學(xué)原語(yǔ)

12.3 硬件加速技術(shù)

12.3.1 HE-DIMM 內(nèi)存計(jì)算架構(gòu)

技術(shù)原理：

HE-DIMM 是一種基于內(nèi)存的同態(tài)加密計(jì)算架構(gòu)，將計(jì)算邏輯集成到內(nèi)存模塊中。

性能提升：

相比傳統(tǒng) CPU 實(shí)現(xiàn)，HE-DIMM 可以提供數(shù)量級(jí)的性能提升。

應(yīng)用場(chǎng)景：

云計(jì)算安全
隱私保護(hù)計(jì)算
大規(guī)模數(shù)據(jù)處理

12.3.2 APACHE 加速器

技術(shù)特點(diǎn)：

APACHE 是專門為格密碼設(shè)計(jì)的硬件加速器，具有以下特點(diǎn)：

針對(duì)格基運(yùn)算進(jìn)行優(yōu)化
支持多種格密碼算法
可配置的架構(gòu)設(shè)計(jì)

性能數(shù)據(jù)：

密鑰生成速度提升 10-100 倍
簽名驗(yàn)證速度提升 50-500 倍
適合高性能計(jì)算環(huán)境

12.3.3 GPU 和 FPGA 實(shí)現(xiàn)

GPU 加速：

# GPU加速示例（使用Numba）

import numba as nb

@nb.vectorize(\['int64(int64, int64)'], target='cuda')

def gpu_poly_mult(a, b):

   """GPU加速的多項(xiàng)式乘法"""

   return (a \* b) % 8192

def gpu_accelerated_lattice_ops(B):

   """GPU加速的格運(yùn)算"""

   # 將數(shù)據(jù)傳輸?shù)紾PU

   d_B = nb.cuda.to_device(B)

   # 在GPU上執(zhí)行計(jì)算

   d_result = gpu_poly_mult(d_B, d_B)

   # 將結(jié)果傳輸回CPU

   result = d_result.copy_to_host()

   return result

# 示例

basis = np.random.randint(0, 8192, size=(1024, 1024), dtype=np.int64)

result = gpu_accelerated_lattice_ops(basis)

print("GPU加速計(jì)算完成，結(jié)果形狀:", result.shape)

12.4 格密碼與 AI 的結(jié)合

12.4.1 AI 輔助格密碼分析

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)用于格問(wèn)題求解：

研究人員探索使用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來(lái)尋找格密碼方案中潛在的模式或弱點(diǎn)。

技術(shù)挑戰(zhàn)：

高維數(shù)據(jù)的處理
復(fù)雜模式的識(shí)別
泛化能力的提升

12.4.2 格密碼保護(hù) AI 隱私

隱私保護(hù)機(jī)器學(xué)習(xí)：

格密碼技術(shù)為保護(hù) AI 模型訓(xùn)練和推理過(guò)程中的數(shù)據(jù)隱私提供了強(qiáng)大的工具。

應(yīng)用場(chǎng)景：

聯(lián)邦學(xué)習(xí)
隱私保護(hù)推理
安全多方計(jì)算

13. 產(chǎn)業(yè)化應(yīng)用與實(shí)踐案例

13.1 金融領(lǐng)域應(yīng)用

13.1.1 量子安全支付系統(tǒng)

中國(guó)工商銀行量子支付網(wǎng)關(guān)：

采用格密碼技術(shù)保護(hù)支付交易
支持量子安全的數(shù)字簽名
確保支付系統(tǒng)的長(zhǎng)期安全性

13.1.2 區(qū)塊鏈安全

以太坊 2.0 量子安全升級(jí)：

采用格基數(shù)字簽名
支持量子安全的智能合約
保護(hù)用戶資產(chǎn)安全

13.2 云計(jì)算與大數(shù)據(jù)

13.2.1 同態(tài)加密即服務(wù)

主要云廠商的支持：

Google：在 Chrome 瀏覽器中支持格密碼算法
Microsoft：在 Azure 中集成格密碼算法
IBM：提供后量子密碼的云服務(wù)

13.2.2 隱私保護(hù)數(shù)據(jù)分析

應(yīng)用案例：

醫(yī)療數(shù)據(jù)隱私分析
金融風(fēng)控模型訓(xùn)練
廣告投放優(yōu)化

13.3 物聯(lián)網(wǎng)安全

13.3.1 輕量級(jí)格密碼實(shí)現(xiàn)

技術(shù)特點(diǎn)：

低功耗設(shè)計(jì)
適合資源受限設(shè)備
快速密鑰交換

13.3.2 設(shè)備身份認(rèn)證

應(yīng)用場(chǎng)景：

智能家居設(shè)備
工業(yè)物聯(lián)網(wǎng)
車聯(lián)網(wǎng)安全

13.4 衛(wèi)星通信安全

13.4.1 格密碼解決方案

艾麗卡密碼實(shí)驗(yàn)室方案：

輕量級(jí)簽名算法，能耗降低至 0.1 瓦
結(jié)合全同態(tài)加密和量子密鑰分發(fā)
防御成功率提升至 99.97%

技術(shù)優(yōu)勢(shì)：

資源受限適配
動(dòng)態(tài)威脅防御
端到端隱私保護(hù)

13.5 5G 網(wǎng)絡(luò)安全

13.5.1 3GPP 標(biāo)準(zhǔn)化

3GPP SA3 工作組：

制定 5G 網(wǎng)絡(luò)中的后量子密碼標(biāo)準(zhǔn)
重點(diǎn)關(guān)注格密碼的應(yīng)用
確保 5G 網(wǎng)絡(luò)的長(zhǎng)期安全性

13.5.2 應(yīng)用場(chǎng)景

網(wǎng)絡(luò)切片安全：

量子安全的密鑰交換
切片間隔離保護(hù)
用戶隱私保護(hù)

14. 安全性分析與攻擊防御

14.1 算法攻擊分析

14.1.1 格基約化攻擊

BKZ 算法的威脅：

BKZ 算法的不斷優(yōu)化對(duì)格密碼的安全性構(gòu)成威脅。

防御措施：

選擇合適的安全參數(shù)
使用結(jié)構(gòu)化格（如 Ring-LWE）
采用更強(qiáng)的格基約化抵抗技術(shù)

14.1.2 側(cè)信道攻擊

常見(jiàn)攻擊類型：

計(jì)時(shí)攻擊
功耗分析
故障注入攻擊

防御技術(shù)：

def secure_implementation_example():

   """安全的格密碼實(shí)現(xiàn)示例"""

   def constant_time_operation(a, b, q):

       """常數(shù)時(shí)間操作"""

       result = (a + b) % q

       # 確保操作時(shí)間不依賴于輸入值

       dummy = np.random.randint(0, q)

       result = (result + dummy) % q

       result = (result - dummy) % q

       return result

   def masked_operation(a, b, mask, q):

       """掩碼操作"""

       # 應(yīng)用隨機(jī)掩碼

       a_masked = (a + mask) % q

       b_masked = (b + mask) % q

       # 執(zhí)行操作

       result_masked = (a_masked \* b_masked) % q

       # 移除掩碼

       result = (result_masked - a \* mask - b \* mask - mask \* mask) % q

       return result

   def randomize_memory_access(data, indices):

       """隨機(jī)化內(nèi)存訪問(wèn)"""

       # 隨機(jī)打亂訪問(wèn)順序

       rng = np.random.default_rng()

       permutation = rng.permutation(len(indices))

       result = \[]

       for i in permutation:

           result.append(data\[indices\[i]])

       return result

   return {

       'constant_time_operation': constant_time_operation,

       'masked_operation': masked_operation,

       'randomize_memory_access': randomize_memory_access

   }

# 示例使用

secure_ops = secure_implementation_example()

q = 8192

a = 1234

b = 5678

mask = 9012

# 安全操作

result1 = secure_ops\['constant_time_operation']\(a, b, q)

result2 = secure_ops\['masked_operation']\(a, b, mask, q)

print("安全實(shí)現(xiàn)示例:")

print("常數(shù)時(shí)間操作結(jié)果:", result1)

print("掩碼操作結(jié)果:", result2)

14.2 密鑰管理安全

14.2.1 密鑰生成安全

安全的隨機(jī)數(shù)生成：

import os

import hashlib

def secure_key_generation(n, q):

   """安全的密鑰生成"""

   def secure_random_bytes(length):

       """安全的隨機(jī)字節(jié)生成"""

       return os.urandom(length)

   def hash_drbg(seed, length):

       """基于哈希的確定性隨機(jī)位生成器"""

       result = b''

       counter = 0

       while len(result) < length:

           # 生成計(jì)數(shù)器值的字節(jié)表示

           counter_bytes = counter.to_bytes(4, byteorder='big')

           # 計(jì)算哈希

           hash_input = seed + counter_bytes

           hash_output = hashlib.sha256(hash_input).digest()

           result += hash_output

           counter += 1

       return result[:length]

   # 生成初始種子

   seed = secure_random_bytes(32)

   # 生成密鑰所需的隨機(jī)數(shù)據(jù)

   key_bytes = hash_drbg(seed, n \* 4)  # 每個(gè)元素4字節(jié)

   # 轉(zhuǎn)換為整數(shù)數(shù)組

   key = np.zeros(n, dtype=np.int64)

   for i in range(n):

       start = i \* 4

       end = start + 4

       key\[i] = int.from_bytes(key_bytes\[start:end], byteorder='big') % q

   return key

# 示例

key = secure_key_generation(256, 8192)

print("安全生成的密鑰前10個(gè)元素:", key\[:10])

14.2.2 密鑰存儲(chǔ)安全

密鑰加密存儲(chǔ)：

from cryptography.fernet import Fernet

def secure_key_storage():

   """安全的密鑰存儲(chǔ)"""

   def generate_encryption_key():

       """生成加密密鑰"""

       return Fernet.generate_key()

   def encrypt_key(private_key, encryption_key):

       """加密私鑰"""

       fernet = Fernet(encryption_key)

       key_bytes = private_key.tobytes()

       encrypted = fernet.encrypt(key_bytes)

       return encrypted

   def decrypt_key(encrypted_key, encryption_key):

       """解密私鑰"""

       fernet = Fernet(encryption_key)

       decrypted_bytes = fernet.decrypt(encrypted_key)

       return np.frombuffer(decrypted_bytes, dtype=np.int64)

   return {

       'generate_encryption_key': generate_encryption_key,

       'encrypt_key': encrypt_key,

       'decrypt_key': decrypt_key

   }

# 示例

key_storage = secure_key_storage()

private_key = np.random.randint(0, 8192, size=256, dtype=np.int64)

# 生成加密密鑰

enc_key = key_storage\['generate_encryption_key']\()

# 加密私鑰

encrypted = key_storage\['encrypt_key']\(private_key, enc_key)

# 解密私鑰

decrypted = key_storage\['decrypt_key']\(encrypted, enc_key)

print("密鑰存儲(chǔ)示例:")

print("原始密鑰前10個(gè)元素:", private_key\[:10])

print("解密密鑰前10個(gè)元素:", decrypted\[:10])

print("密鑰是否一致:", np.array_equal(private_key, decrypted))

14.3 標(biāo)準(zhǔn)化安全評(píng)估

14.3.1 NIST 安全性評(píng)估

評(píng)估標(biāo)準(zhǔn)：

算法安全性
實(shí)現(xiàn)安全性
側(cè)信道攻擊防御
長(zhǎng)期安全性

評(píng)估結(jié)果：

格密碼方案在 NIST 評(píng)估中表現(xiàn)優(yōu)異，被認(rèn)為是最安全的后量子密碼技術(shù)之一。

14.3.2 第三方安全審計(jì)

審計(jì)內(nèi)容：

算法正確性
安全性證明
實(shí)現(xiàn)安全性
性能分析

推薦實(shí)踐：

重要應(yīng)用應(yīng)進(jìn)行第三方安全審計(jì)，確保實(shí)現(xiàn)的安全性。

15. 結(jié)論與未來(lái)展望

15.1 格密碼的核心優(yōu)勢(shì)

15.1.1 理論安全性優(yōu)勢(shì)

基于最壞情況困難性：

格密碼的安全性基于格上的最壞情況困難問(wèn)題，這提供了最強(qiáng)的安全性保證。

抗量子特性：

目前已知的量子算法對(duì)格問(wèn)題沒(méi)有多項(xiàng)式時(shí)間的求解算法，格密碼是抗量子的。

可證明安全：

格密碼方案通常具有嚴(yán)格的安全性證明，確保了其在理論上的安全性。

15.1.2 工程實(shí)用性優(yōu)勢(shì)

效率不斷提升：

隨著算法改進(jìn)和硬件發(fā)展，格密碼的實(shí)現(xiàn)效率不斷提高。

硬件加速支持：

格密碼算法適合硬件加速，可以在專用硬件上獲得顯著的性能提升。

功能多樣性：

格密碼支持多種密碼學(xué)原語(yǔ)，包括加密、簽名、密鑰交換、全同態(tài)加密等。

15.2 面臨的挑戰(zhàn)

15.2.1 效率挑戰(zhàn)

計(jì)算開(kāi)銷：

全同態(tài)加密等高級(jí)功能的計(jì)算開(kāi)銷仍然較大。

密鑰和簽名大小：

相比傳統(tǒng)密碼算法，格密碼的密鑰和簽名大小通常較大。

優(yōu)化方向：

算法層面的創(chuàng)新
硬件 - 軟件協(xié)同設(shè)計(jì)
專用芯片開(kāi)發(fā)

15.2.2 安全性挑戰(zhàn)

量子算法威脅：

需要持續(xù)關(guān)注量子算法對(duì)格密碼安全性的影響。

側(cè)信道攻擊：

格密碼的實(shí)現(xiàn)容易受到側(cè)信道攻擊，需要特殊的防御措施。

參數(shù)選擇安全性：

格密碼的安全性高度依賴于參數(shù)選擇，需要謹(jǐn)慎評(píng)估。

15.2.3 標(biāo)準(zhǔn)化挑戰(zhàn)

國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)協(xié)調(diào)：

需要在國(guó)際范圍內(nèi)協(xié)調(diào)格密碼標(biāo)準(zhǔn)。

互操作性保證：

確保不同實(shí)現(xiàn)之間的互操作性。

長(zhǎng)期安全性評(píng)估：

需要對(duì)格密碼的長(zhǎng)期安全性進(jìn)行持續(xù)評(píng)估。

15.3 未來(lái)發(fā)展方向

15.3.1 理論研究方向

新的格困難問(wèn)題：

探索新的格困難問(wèn)題，為密碼學(xué)應(yīng)用提供更多選擇。

更高效的算法：

開(kāi)發(fā)更高效的格算法，提高格密碼的性能。

安全性證明技術(shù)：

改進(jìn)安全性證明技術(shù)，提供更嚴(yán)格的安全性保證。

15.3.2 技術(shù)創(chuàng)新方向

硬件 - 軟件協(xié)同設(shè)計(jì)：

通過(guò)硬件 - 軟件協(xié)同設(shè)計(jì)，提高格密碼的實(shí)現(xiàn)效率。

專用芯片開(kāi)發(fā)：

開(kāi)發(fā)專門的格密碼芯片，提供更高的性能和安全性。

優(yōu)化的實(shí)現(xiàn)技術(shù)：

開(kāi)發(fā)優(yōu)化的實(shí)現(xiàn)技術(shù)，減少計(jì)算開(kāi)銷和內(nèi)存使用。

15.3.3 應(yīng)用拓展方向

區(qū)塊鏈和數(shù)字貨幣：

將格密碼應(yīng)用于區(qū)塊鏈和數(shù)字貨幣，提供抗量子的安全保障。

隱私保護(hù) AI：

利用格密碼技術(shù)保護(hù) AI 模型和數(shù)據(jù)的隱私。

安全計(jì)算市場(chǎng)：

開(kāi)發(fā)基于格密碼的安全計(jì)算服務(wù)，滿足市場(chǎng)需求。

15.4 產(chǎn)業(yè)應(yīng)用前景

15.4.1 金融領(lǐng)域

應(yīng)用前景：

量子安全支付系統(tǒng)
區(qū)塊鏈安全升級(jí)
隱私保護(hù)金融分析

市場(chǎng)規(guī)模：

預(yù)計(jì)到 2030 年，量子安全金融技術(shù)市場(chǎng)規(guī)模將達(dá)到數(shù)百億美元。

15.4.2 云計(jì)算和大數(shù)據(jù)

應(yīng)用前景：

同態(tài)加密即服務(wù)
隱私保護(hù)機(jī)器學(xué)習(xí)
安全多方計(jì)算

技術(shù)趨勢(shì)：

云廠商將大規(guī)模部署格密碼技術(shù)，提供量子安全的云服務(wù)。

15.4.3 物聯(lián)網(wǎng)和邊緣計(jì)算

應(yīng)用前景：

輕量級(jí)格密碼實(shí)現(xiàn)
設(shè)備身份認(rèn)證
邊緣設(shè)備安全通信

技術(shù)挑戰(zhàn)：

需要開(kāi)發(fā)更高效、更節(jié)能的格密碼實(shí)現(xiàn)。

15.5 結(jié)論

格密碼學(xué)作為后量子密碼學(xué)的核心技術(shù)，經(jīng)過(guò)近 30 年的發(fā)展，已經(jīng)建立了堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ)，在算法效率、安全性和功能豐富性方面都取得了顯著進(jìn)展。隨著 NIST 后量子密碼標(biāo)準(zhǔn)的發(fā)布和產(chǎn)業(yè)界的大規(guī)模采納，格密碼將在未來(lái)的信息安全中發(fā)揮越來(lái)越重要的作用。

面對(duì)量子計(jì)算的挑戰(zhàn)，格密碼為構(gòu)建安全、可靠、高效的信息基礎(chǔ)設(shè)施提供了堅(jiān)實(shí)的技術(shù)基礎(chǔ)。在網(wǎng)絡(luò)安全、云計(jì)算、物聯(lián)網(wǎng)、區(qū)塊鏈等領(lǐng)域，格密碼都將有廣泛的應(yīng)用前景。

展望未來(lái)，格密碼技術(shù)將繼續(xù)在算法創(chuàng)新、硬件加速、應(yīng)用拓展等方面取得新的突破，為構(gòu)建量子時(shí)代的安全信息社會(huì)做出重要貢獻(xiàn)。我們有理由相信，格密碼將成為未來(lái)信息安全的核心技術(shù)，為數(shù)字經(jīng)濟(jì)的健康發(fā)展提供強(qiáng)有力的安全保障。

參考資料：

Oded Regev. "On lattices, learning with errors, random linear codes, and cryptography." JACM, 2009.
Craig Gentry, Chris Peikert, Vinod Vaikuntanathan. "Trapdoors for hard lattices and new cryptographic constructions." STOC, 2008.
NIST Post-Quantum Cryptography Standardization. FIPS 203, 204, 205.
西交利物浦大學(xué)丁津泰團(tuán)隊(duì). "200 維 SVP 難題破解研究." 2025.
清華大學(xué)陳一雷團(tuán)隊(duì). "格問(wèn)題的量子算法研究." 最新進(jìn)展.
CRYSTALS-Kyber: A CCA-secure module-lattice-based KEM.
CRYSTALS-Dilithium: A lattice-based digital signature scheme.
FALCON: Fast-Fourier lattice-based compact signatures over NTRU.
The Mathematics of Lattices. Various sources.
A Decade of Lattice Cryptography. Various sources.

posted @ 2025-10-30 16:37 3cH0_Nu1L 閱讀(71) 評(píng)論(0) 收藏舉報(bào)

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Lattice Cryptography 格密碼概述

Lattice Cryptography 格密碼概述

目錄

1. Lattice 格的歷史發(fā)展

1.1 早期數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（1840-1980）

1.2 算法突破階段（1982-1996）

1.3 第一代格密碼（1996-2005）

1.4 第二代格密碼（2005 - 至今）

1.5 格密碼發(fā)展時(shí)間線

2. 格的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)與理論推導(dǎo)

2.1 格的嚴(yán)格數(shù)學(xué)定義

2.2 格的基表示與變換

2.3 格的基本區(qū)域

2.4 格的行列式與體積

2.5 閔可夫斯基定理的詳細(xì)證明

2.6 對(duì)偶格的理論推導(dǎo)

3. 格基與格基約化算法

3.1 Gram-Schmidt 正交化過(guò)程

3.2 LLL 算法的詳細(xì)推導(dǎo)

3.2.1 LLL 約化條件

3.2.2 LLL 算法的完整實(shí)現(xiàn)

3.2.3 LLL 算法的近似保證

3.3 BKZ 算法的原理與實(shí)現(xiàn)

3.3.1 BKZ 算法的基本思想

3.3.2 BKZ 算法的 Python 實(shí)現(xiàn)

4. 格的基本屬性及關(guān)鍵概念

4.1 格的核心參數(shù)

4.1.1 秩與維度

4.1.2 行列式與密度

4.1.3 最小距離

4.2 連續(xù)最小長(zhǎng)度

4.3 覆蓋半徑

4.4 基質(zhì)量評(píng)估指標(biāo)

4.4.1 Hadamard 比率

4.4.2 正交缺陷

4.5 代碼實(shí)現(xiàn)：格參數(shù)計(jì)算

5. SVP 最短向量問(wèn)題深度解析

5.1 SVP 問(wèn)題的嚴(yán)格定義

5.2 SVP 問(wèn)題的變體

5.2.1 近似 SVP

5.2.2 判定 SVP

5.2.3 GapSVP

5.3 計(jì)算復(fù)雜性分析

5.3.1 精確 SVP 的復(fù)雜性

5.3.2 近似 SVP 的復(fù)雜性

5.4 SVP 求解算法詳解

5.4.1 枚舉算法

5.4.2 篩法

5.4.3 基于 LLL 的近似算法

5.5 西浦團(tuán)隊(duì) SVP 突破的技術(shù)分析

5.5.1 突破概述

5.5.2 對(duì)格密碼的影響

6. CVP 最近向量問(wèn)題理論與算法

6.1 CVP 問(wèn)題的嚴(yán)格定義

6.2 CVP 問(wèn)題的變體

6.2.1 近似 CVP

6.2.2 判定 CVP

6.2.3 BDD 問(wèn)題

6.3 CVP 與格陪集

6.3.1 格陪集的定義

6.3.2 CVP 的幾何意義

6.4 CVP 求解算法詳解

6.4.1 最近平面算法

6.4.2 球形解碼算法

6.4.3 基于 LLL 的近似算法

6.5 CVP 問(wèn)題的應(yīng)用

6.5.1 糾錯(cuò)碼譯碼

6.5.2 密碼分析

7. SIVP 最短獨(dú)立向量問(wèn)題研究

7.1 SIVP 問(wèn)題的嚴(yán)格定義

7.2 SIVP 與其他格問(wèn)題的關(guān)系

7.2.1 SIVP 與 SVP 的關(guān)系

7.2.2 SIVP 與 CVP 的關(guān)系

7.3 SIVP 求解算法

7.3.1 基于 LLL 的算法

7.3.2 基于 BKZ 的算法

7.4 SIVP 在密碼學(xué)中的應(yīng)用

7.4.1 GPV08 陷門函數(shù)

7.4.2 全同態(tài)加密