白話算法(7) 生成全排列的幾種思路(二) 康托展開

// 返回s的康托展開值
static long X(string[] s)
{
    long result = 0;
    int len = s.Length;
    for (int i = 0; i < len; i++)
    {
        result += An(s, i) * Factorial(len - i - 1);
    }
    return result;
}

// 返回 s[n] 是 s[n..length] 中第幾大的元素
static int An(string[] s, int n)
{
    int result = 0;
    for (int i = n + 1; i < s.Length; i++)
    {
        if (s[n].CompareTo(s[i]) >= 0)
            result++;
    }
    return result;
}

// 返回 input 的階乘
static int Factorial(int input)
{
    int result = 1;
    for (int i = 2; i <= input; i++)
    {
        result = result * i;
    }
    return result;
}

string[] s = new string[] { "A", "B", "C" };
foreach (string[] p in Permutation2(s))
{
    Console.WriteLine(p.Montage(t => t, " ") + " | " + X(p).ToString());
}

Permutation2() 和 Montage() 函數請參考上一篇。測試輸出如下：
A B C | 0
A C B | 1
B A C | 2
B C A | 3
C A B | 4
C B A | 5

通過康托逆展開生成全排列

　　如果已知 s = ["A", "B", "C", "D"]，X(s1) = 20，能否推出 s1 = ["D", "B", "A", "C"] 呢？
　　因為已知 X(s1) = a4*3! + a3*2! + a2*1! + a1*0! = 20，所以問題變成由 20 能否唯一地映射出一組 a4、a3、a2、a1？如果不考慮 ai 的取值范圍，有
3*3! + 1*2! + 0*1! + 0*0! = 20
2*3! + 4*2! + 0*1! + 0*0! = 20
1*3! + 7*2! + 0*1! + 0*0! = 20
0*3! + 10*2! + 0*1! + 0*0! = 20
0*3! + 0*2! + 20*1! + 0*0! = 20
等等。但是滿足 0 <= ai <= n-1 的只有第一組。可以使用輾轉相除的方法得到 ai，如下圖所示：

知道了a4、a3、a2、a1的值，就可以知道s1[0] 是子數組["A", "B", "C", "D"]中第3大的元素 "D"，s1[1] 是子數組 ["A", "B", "C"] 中第1大的元素"B"，s1[2] 是子數組 ["A", "C"] 中第0大的元素"A"，s[3] 是子數組 ["C"] 中第0大的元素"C"，所以s1 = ["D", "B", "A", "C"]。
這樣我們就能寫出一個函數 Permutation3()，它可以返回  s 的第 m 個排列。

// 返回 s 的第 m 個排列（m 從 0 開始）。要求 s 是升序排列的
static string[] Permutation3(string[] s, int m)
{
    IList<string> sub = new List<string>(s);
    IList<string> result = new List<string>();
    for (int i = s.Length - 1; i >= 0; i--)
    {
        int f = Factorial(i);
        int ai = m / f;
        string item = sub[ai]; // 由于數組是升序排列的，所以第 ai 大的元素就是 sub[ai]
        result.Add(item);
        sub.RemoveAt(ai);
        m = m % f;
    }
    return result.ToArray();
}

測試一下：

string[] s = new string[] { "A", "B", "C", "D" };
for (int i = 0; i < Factorial(s.Length); i++)
{
    string[] s1 = Permutation3(s, i);
    Console.WriteLine(s1.Montage(t => t, " "));
}

附錄 康托展開是怎么來的？

　　很顯然，康托展開是本文的關鍵所在。你說康托他老人家當初是怎么想出來這種展開的方法的呢？我們還是以 s=["A", "B", "C"] 為例：

A B C | 0
A C B | 1
B A C | 2
B C A | 3
C A B | 4
C B A | 5

　　他的思路可能是這樣的：首先，確定一個目標：將每個排列映射為一個自然數，這個自然數是順序增長的（或者至少要有一定的規律）。要說映射成自然數，第一個想到的方法自然是把數組的下標當作一個n進制的數字，但是正如本文開篇所討論的，這個數字并沒有什么規律；第二個方法是計數，也就是令 X = 當前排列之前有多少個排列。例如 A B C 是第一個排列，它前面沒有任何排列，所以 X(ABC) = 0；A C B 前面有一個排列，所以 X(ACB) = 1……那么如何才能知道 X(BCA) = 3 也就是 B C A 的前面有3個排列呢？這里的技巧仍然是分解——把問題分隔成相互獨立的有限的小塊。具體的方法是：先求出 B 第一次出現在最高位（也就是 B A C 這個排列）時前面有幾個排列，再求出 B C A 是 B A C 后面第幾個排列，把這個兩個數相加就是想要的結果了。
　　先看第一個問題：B 第一次出現在最高位（也就是 B A C 這個排列）時前面有幾個排列？由于已知 B A C 前面的排列一定是 A 開頭的，所以只有 A 后面的兩個元素可以變化，所以排列數是 P(2,2) = 2! 個。
　　第二個問題：B C A 是 B A C 后面第幾個排列？因為都是 B 開頭的，所以可以把開頭的 B 忽略，問題變成 C A 是 A C 后面的第幾個排列？同樣，可以先考慮 C 第一次出現在最高位時前面有幾個排列，因為 C A 前面的排列肯定是 A 開頭的，所以只有 A 后面的一個元素可以變化，所以排列數是 P(1,1) = 1! 個。
　　所以 X(BCA) = 2! + 1! = 3
　　再例如想求 X(CBA)，同樣是先考慮 C 第一次出現在最高位時前面有多少個排列，因為比 C 小的元素有 A 和 B 兩個，所以是 2*2! 個。再求出 B  A 是 A B 后面的第 1! 個排列。就可以知道 X(CBA) = 2*2! + 1! = 5 了。

感謝徐少俠的幫助！