狄拉克δ函數(shù)探源：從廣義函數(shù)到分析核與信號(hào)窗 (AI輔助撰寫(xiě))

本文由AI輔助撰寫(xiě)，主體寫(xiě)作為AI，行文思路本人提供。
本人對(duì)AI輔助寫(xiě)作的博客的評(píng)論、吐槽與糾正均以類似本段的引用格式來(lái)說(shuō)明。
（AI寫(xiě)的真有些料，但也是真的狗屁不通，下面第五點(diǎn)的行文就很令人迷惑）

狄拉克\(\delta\)函數(shù)探源：從廣義函數(shù)到分析核與信號(hào)窗

1. “理想”卻“不存在”的脈沖

在許多科學(xué)和工程領(lǐng)域，狄拉克\(\delta\)函數(shù)（Dirac Delta Function）是一個(gè)不可或缺的工具。我們通常期望它是一個(gè)“函數(shù)”\(\delta(t)\)，并滿足以下三個(gè)理想屬性：

無(wú)限集中： 當(dāng) \(t \neq 0\) 時(shí)， \(\delta(t) = 0\)。
無(wú)限尖銳： 當(dāng) \(t = 0\) 時(shí)， \(\delta(t) = \infty\)。
能量歸一： \(\int_{-\infty}^{\infty} \delta(t) dt = 1\)。

這個(gè)定義的便利性在于其完美的“篩選特性”（Sifting Property）：

\[\int_{-\infty}^{\infty} f(t) \delta(t - t_0) dt = f(t_0) \]

它代表了一個(gè)瞬時(shí)的、能量歸一化的“單位脈沖”。

然而，從嚴(yán)格的數(shù)學(xué)函數(shù)定義來(lái)看，滿足條件1和2的函數(shù)其積分為0，這與條件3矛盾。因此，\(\delta(t)\)并不是一個(gè)傳統(tǒng)意義上的函數(shù)。

畢竟，單點(diǎn)處的值不影響積分的結(jié)果，那么0處的值也不影響總積分結(jié)果才對(duì)。
但正常在學(xué)習(xí)沖激函數(shù)時(shí)采用的理解方式是完全合理的，接下來(lái)就要解釋其合理性了。

那么，我們?cè)撊绾螄?yán)謹(jǐn)?shù)乩斫夂褪褂盟兀?/p>

2. 數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)化：作為極限的\(\delta\)函數(shù)（狄拉克序列）

數(shù)學(xué)上，\(\delta\)函數(shù)被視為一種“廣義函數(shù)”或“分布”（Distribution）。一個(gè)更直觀且在分析中被廣泛采用的理解是：\(\delta\)函數(shù)是一個(gè)函數(shù)序列 \(\{ \delta_N(t) \}\) 在 \(N \to \infty\) 時(shí)的極限（在分布的意義下）。

這個(gè)序列，我們稱之為“狄拉克序列”（Dirac Sequence），必須滿足特定的條件才能在極限狀態(tài)下模擬\(\delta\)函數(shù)的篩選特性。

示例 1：高瘦矩形序列 (最經(jīng)典的入門(mén)模型)

這正是最常用于介紹\(\delta\)函數(shù)的模型。我們定義一個(gè)矩形函數(shù)序列 \(R_N(t)\)（在一些文獻(xiàn)中也寫(xiě)作 \(\Pi_N(t)\)）：

\[R_N(t) = \begin{cases} N/2 & \text{if } |t| < 1/N \\ 0 & \text{if } |t| \ge 1/N \end{cases} \]

這個(gè)函數(shù)族：

面積歸一： \(\int_{-\infty}^{\infty} R_N(t) dt = (\text{高度 } N/2) \times (\text{寬度 } 2/N) = 1\)。
極限集中： 當(dāng) \(N \to \infty\)，寬度 \(2/N \to 0\)，而高度 \(N/2 \to \infty\)。

雖然大多數(shù)課程并不會(huì)嚴(yán)格定義δ函數(shù)，但講述時(shí)采用的思路卻能確實(shí)定義好δ函數(shù)。
不過(guò)不知道大家學(xué)習(xí)時(shí)是否有這個(gè)疑問(wèn)：真的只有這種趨近嗎，還有別的函數(shù)能趨近成沖激函數(shù)嗎？
接下來(lái)就介紹了一些其它的趨近方式。如果有興趣可以計(jì)算一下，在 \(N \to \infty\) 時(shí)，其本身與其傅里葉變換是否分別趨近于沖激函數(shù)和常數(shù)（答案顯然是肯定的）??

示例 2：高斯函數(shù)（熱核）

另一個(gè)重要的例子是高斯函數(shù)（在物理中也稱為熱核, Heat Kernel）：

\[H_t(x) = \frac{1}{\sqrt{4\pi t}} e^{-x^2 / 4t} \]

這里我們用 \(t \to 0^+\) 來(lái)代替 \(N \to \infty\)。當(dāng) \(t \to 0^+\) 時(shí)，這個(gè)函數(shù)的高度 \(\to \infty\)，寬度 \(\to 0\)，并且其全域積分始終為1。它也是\(\delta\)函數(shù)的一個(gè)完美代表。

這里的高斯函數(shù)還有挺多的性質(zhì)的。比如，\(t=\frac{1}{2}\)時(shí)它是傅里葉變換的特征函數(shù)，特征值為1。
特征函數(shù)類比線代的特征向量。在線代中，我們稱 \(Ax=\lambda x\) 中 \(x\) 為特征向量，\(\lambda\)為特征值。在這里，我們有 \(\mathcal{F}(H_{\frac{1}{2}}(x)) = 1 \cdot H_{\frac{1}{2}}(x)\)
事實(shí)上，對(duì)于任意符合傅里葉變換的基礎(chǔ)條件的函數(shù)，其理論上均可分解為厄米函數(shù) \(\psi_n(x)=C_n H_n(x) e^{-x^2}\) 的和（此處 \(H_n(x) \equiv (- 1)^n \mathrm{e} ^{x^2} \frac{\mathrmw0obha2h00^{n}}{\mathrmw0obha2h00{x}^{n}} \left( \mathrm{e} ^{-x^2} \right)\)是厄米多項(xiàng)式，前三項(xiàng)分別為 \(1, 2x, 4x^2-2\)。由于本文其它地方不會(huì)出現(xiàn)該多項(xiàng)式，因此此處做特殊說(shuō)明，本文其它地方的\(H_n\)均指高斯函數(shù)），從而可以通過(guò)特征值來(lái)簡(jiǎn)單求解傅里葉變換后的值。實(shí)際上大多數(shù)時(shí)候我們根本求不出來(lái)（樂(lè)）
\(t=\frac{1}{2}\)時(shí)的高斯函數(shù)我們后面還會(huì)提到。

3. 傅里葉分析中的“核函數(shù)”

這種“狄拉克序列”在傅里葉分析中有另一個(gè)名字：“核函數(shù)”（Kernels）。

在分析學(xué)中，我們不直接處理 \(\delta(t)\)，而是處理這些核函數(shù)。我們的目標(biāo)是證明一個(gè)函數(shù) \(f\) 可以由其傅里葉級(jí)數(shù)（或變換）重構(gòu)。實(shí)現(xiàn)這一點(diǎn)的關(guān)鍵工具是卷積。我們希望證明：

\[\lim_{N \to \infty} (f * K_N)(t) = f(t) \]

（在數(shù)學(xué)上，卷積 \(f * \delta = f\)，所以 \(K_N\) 序列在極限意義下就是卷積運(yùn)算的“單位元”，即\(\delta\)函數(shù)）。

滿足這個(gè)條件的序列 \(K_N\) 被稱為“好核”（Good Kernels）。一個(gè)序列成為“好核”，必須（大致）具備三個(gè)關(guān)鍵屬性（以周期情況為例）：

質(zhì)量歸一化： \(\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} K_N(t)dt = 1\)。
質(zhì)量集中： 隨著 \(N \to \infty\)，所有的質(zhì)量（面積）都必須集中在原點(diǎn)附近。
總質(zhì)量有界： \(\int_{-\pi}^{\pi} |K_N(t)| dt \le M\)。

一個(gè)更強(qiáng)的、通常也更“好”的屬性是正定性：\(K_N(t) \ge 0\)，這個(gè)屬性自動(dòng)保證了條件1和3等價(jià)。

在傅里葉級(jí)數(shù)的研究中，我們立即遇到了幾個(gè)核心的核函數(shù)：

核函數(shù) 1：狄利克雷核 (Dirichlet Kernel)

這是傅里葉級(jí)數(shù)標(biāo)準(zhǔn)部分和 \(S_N(f) = \sum_{n=-N}^N \hat{f}(n) e^{int}\) 對(duì)應(yīng)的核。

\[S_N(f) = f * D_N \]

\[D_N(t) = \sum_{n=-N}^N e^{int} = \frac{\sin((N+\frac{1}{2})t)}{\sin(t/2)} \]

狄利克雷核是壞的（Bad Kernel）！它滿足條件1和2，但嚴(yán)重違反了條件3。它的 \(L^1\) 范數(shù)會(huì)隨著 \(N\) 增大而趨于對(duì)數(shù)無(wú)窮（\(\int |D_N| \approx c \log N\)）。更直觀地說(shuō)，它不是正定的，它有劇烈的震蕩和大量的負(fù)“旁瓣”。

\(\delta(x)\)的傅里葉級(jí)數(shù)是無(wú)窮長(zhǎng)的，我們截取有限區(qū)間的頻率，忽略高頻后做傅里葉逆變換就是\(D_N(t)\)

核函數(shù) 2：費(fèi)耶核 (Fejér Kernel)

這是切薩羅求和（Cesàro summability，即部分和的平均） \(\sigma_N(f)\) 對(duì)應(yīng)的核。

\[\sigma_N(f) = f * F_N \]

\[F_N(t) = \frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} D_k(t) = \frac{1}{N} \frac{\sin^2(Nt/2)}{\sin^2(t/2)} \]

費(fèi)耶核是好的（Good Kernel）。它滿足所有三個(gè)條件，尤其是，它是正定的（\(F_N(t) \ge 0\)），因此其 \(L^1\) 范數(shù)恒為1。

切薩羅和是 \(\sigma_N = \frac{ \sum_{i=1}^{N} S_i}{N}\)。對(duì)于收斂數(shù)列，在\(N \to \infty\)時(shí)，n較大項(xiàng)更多，取值接近\(N \to \infty\)時(shí)取值的也更多，從而最終切薩羅和與正常的無(wú)窮和是一致的。切薩羅和同時(shí)也能求部分發(fā)散數(shù)列，使得頻譜不收斂的也能成功求和。

核函數(shù) 3：泊松核 (Poisson Kernel)

這是阿貝爾求和（Abel summability）\(A_r(f)\) 對(duì)應(yīng)的核。

\[A_r(f) = f * P_r \]

\[P_r(\theta) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} r^{|n|} e^{in\theta} = \frac{1-r^2}{1-2r\cos\theta+r^2} \quad (\text{其中 } r \to 1^-) \]

這（在 \(r \to 1^-\) 的極限下）也是一個(gè)非常好的（Good Kernel）。它也是正定的，且積分為1。

核函數(shù) 4：高斯核（熱核）(Gaussian / Heat Kernel)

這個(gè)核 \(H_t(x)\) 在示例2中已經(jīng)提到。這（在 \(t \to 0^+\) 的極限下）也是一個(gè)好的（Good Kernel），它積分為1，正定，并且質(zhì)量在 \(t \to 0\) 時(shí)高度集中。

總結(jié)一下：

壞核 (Bad Kernel): 狄利克雷核 (\(D_N\))。
好核 (Good Kernels): 費(fèi)耶核 (\(F_N\))、泊松核 (\(P_r\))、高斯/熱核 (\(H_t\))，以及我們最早的矩形序列 \(R_N(t)\)。

4. 現(xiàn)實(shí)世界的妥協(xié)：從“核”到“窗”

這一段寫(xiě)的有點(diǎn)怪，不過(guò)也還行吧，就用這版了。
這一段的緣起是窗的形式與前面核有些類似，但是讓AI自由發(fā)揮的結(jié)果很糟糕。不過(guò)這一版至少?zèng)]有什么明顯的邏輯問(wèn)題。

在深入之前，我們必須澄清一個(gè)關(guān)鍵概念。在信號(hào)處理（DSP）的標(biāo)準(zhǔn)流程中，“窗函數(shù)” (Window Function) 通常是指一個(gè)在時(shí)域 (Time Domain) 上有限長(zhǎng)的函數(shù) \(w(t)\)，我們用它來(lái)截取一個(gè)（理論上無(wú)限長(zhǎng)的）信號(hào) \(f(t)\)，以便進(jìn)行傅里葉變換（例如DFT/FFT）：

\[f_{\text{windowed}}(t) = f(t) \times w(t) \]

這樣做的后果是，在頻域中，我們得到的不再是 \(f(t)\) 真實(shí)的頻譜 \(\hat{f}(\xi)\)，而是 \(\hat{f}(\xi)\) 與窗函數(shù)自身的傅里葉變換 \(\hat{w}(\xi)\) 的卷積：

\[\hat{f}_{\text{windowed}}(\xi) = \hat{f}(\xi) * \hat{w}(\xi) \]

在這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)流程中，我們用來(lái)卷積的“核”是 \(\hat{w}(\xi)\)，它位于頻域。

這里寫(xiě)的說(shuō)實(shí)話有點(diǎn)糟糕，看看就行了，看不懂也沒(méi)關(guān)系。
一般的窗是時(shí)域乘積頻域卷積，而我們前面提到的核是時(shí)域卷積頻域乘積。不知道怎么給AI寫(xiě)成這樣了。但至少我們可以看到窗函數(shù)和核函數(shù)的形式上的類似了。

而我們這里（從傅里葉級(jí)數(shù)出發(fā)）的視角是對(duì)偶（Dual）的：
我們有一個(gè)無(wú)限的系數(shù)序列 \(\hat{f}(n)\)，我們必須在頻域將其截?cái)唷?/p>

窗函數(shù) 1：矩形窗 (Rectangular Window / Boxcar)
計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)部分和 \(S_N(f)\)，等價(jià)于在頻域乘以一個(gè)矩形窗：

\[W_{Rect}(n) = \begin{cases} 1 & \text{if } |n| \le N \\ 0 & \text{if } |n| > N \end{cases} \]

根據(jù)卷積定理，這個(gè)操作（頻域乘矩形窗）等價(jià)于在時(shí)域卷積了狄利克雷核 \(D_N(t)\)。

窗函數(shù) 2：三角窗 (Triangular / Bartlett Window)
計(jì)算切薩羅求和 \(\sigma_N(f)\)，等價(jià)于在頻域乘以一個(gè)三角窗：

\[W_{Tri}(n) = \begin{cases} (1 - |n|/N) & \text{if } |n| \le N \\ 0 & \text{if } |n| > N \end{cases} \]

這個(gè)操作（頻域乘三角窗）等價(jià)于在時(shí)域卷積了費(fèi)耶核 \(F_N(t)\)。

結(jié)論： 我們的討論，是從傅里葉級(jí)數(shù)出發(fā)，研究了時(shí)域上的核函數(shù)（\(D_N, F_N\)）。這與DSP中“時(shí)域加窗，頻域卷核”的視角是對(duì)偶的。但它們是同一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題的兩個(gè)側(cè)面：\(D_N(t)\) 是 \(W_{Rect}(n)\) 的變換核， \(F_N(t)\) 是 \(W_{Tri}(n)\) 的變換核。

5. 工程的權(quán)衡：分辨率 vs. 頻譜泄露

哈哈
前面那段寫(xiě)的確實(shí)不行，這里寫(xiě)的也有點(diǎn)亂，主旁瓣的矛盾為什么存在，這和核為什么有關(guān)系，這些都沒(méi)有提。這部分可以直接跳過(guò)了。
這部分AI寫(xiě)的也太爛了。

這個(gè)對(duì)偶關(guān)系，恰好讓我們能從核函數(shù)的數(shù)學(xué)性質(zhì)（好/壞）來(lái)理解窗函數(shù)的工程表現(xiàn)。

為什么工程師們?nèi)绱擞憛捑匦未埃恳驗(yàn)樗鼘?duì)應(yīng)的核 \(D_N(t)\) 是個(gè)“壞核”，它有巨大的負(fù)旁瓣。在信號(hào)處理中，這些旁瓣被稱為頻譜泄露 (Spectral Leakage)。

在頻域（我們直接觀察 \(D_N\) 和 \(F_N\) 的圖像）：

主瓣（Main Lobe）寬度 決定了我們的頻率分辨率。主瓣越窄，我們?cè)侥軈^(qū)分兩個(gè)靠得很近的頻率。
旁瓣（Sidelobes）高度 決定了頻譜泄露。如果旁瓣很高，一個(gè)非常強(qiáng)的信號(hào)會(huì)通過(guò)它的旁瓣“泄露”能量到其他頻率點(diǎn)上，把我們真正想聽(tīng)的微弱信號(hào)給完全淹沒(méi)了。

“好核”的數(shù)學(xué)性質(zhì)（正定性）和“好窗函數(shù)”的工程性質(zhì)（低旁瓣/低泄露）在這里完美地統(tǒng)一了！

狄利克雷核/矩形窗： 壞核。主瓣最窄（分辨率最高），但旁瓣最高（泄露最嚴(yán)重）。
費(fèi)耶核/三角窗： 好核。旁瓣極低（泄露小，因?yàn)樗钦ǖ模靼陮捔撕芏啵ǚ直媛什睿?/li>

6. 無(wú)法兩全的宿命：核函數(shù)與海森堡不確定性原理

是的，就是那個(gè)海森堡不確定性原理，量子力學(xué)的那個(gè)。十分推薦看Stein大佬的Fourier Analysis: An Introduction，對(duì)這里有不錯(cuò)的論述。
它與傅里葉變換的放縮有很大的關(guān)系，我們?cè)谶@里使用核函數(shù)來(lái)展現(xiàn)其關(guān)系。

在前面的討論中，我們看到了“好核”（如費(fèi)耶核 \(F_N\)）和“壞核”（如狄利克雷核 \(D_N\)）在工程應(yīng)用（窗函數(shù)）中如何表現(xiàn)為“低泄露/低分辨率”和“高泄露/高分辨率”的權(quán)衡。

但為什么必須存在這種權(quán)衡呢？為什么我們不能設(shè)計(jì)一個(gè)“完美”的核，它在時(shí)域（或頻域）既無(wú)限窄（分辨率高），又沒(méi)有旁瓣（無(wú)泄露）？

答案是：因?yàn)橐粋€(gè)更深刻的數(shù)學(xué)定律禁止了這一點(diǎn)。這個(gè)定律就是不確定性原理。

讓我們從核函數(shù)的角度來(lái)理解。\(\delta\)函數(shù)本身是這個(gè)原理的極端體現(xiàn)：

理想 \(\delta(t)\) 函數(shù) (時(shí)域): 寬度 = 0 (無(wú)限集中)。
- 傅里葉變換: \(1(\xi)\) (常數(shù)1) (頻域): 寬度 = \(\infty\) (無(wú)限分散)。
常數(shù)函數(shù) \(f(t)=1\) (時(shí)域): 寬度 = \(\infty\) (無(wú)限分散)。
- 傅里葉變換: \(\delta(\xi)\) (頻域): 寬度 = 0 (無(wú)限集中)。

這揭示了一個(gè)真理：一個(gè)函數(shù)在時(shí)域（或空域）上越集中（越窄），它的傅里葉變換在頻域上就越分散（越寬）。反之亦然。

我們來(lái)看看我們已經(jīng)討論過(guò)的核函數(shù)是如何體現(xiàn)這一點(diǎn)的：

觀察上圖（圖片7），我們發(fā)現(xiàn)：

時(shí)域（核函數(shù) \(K_N(t)\)）： 無(wú)論是 \(D_N(t)\)、\(F_N(t)\) 還是 \(H_t(x)\)，當(dāng) \(N \to \infty\) (或 \(t \to 0\)) 時(shí)，它們?cè)?strong>時(shí)域都變得越來(lái)越集中（寬度 \(\to 0\)）。
頻域（變換 \(\hat{K}_N(n)\)）：
- \(D_N(t)\) 的傅里葉變換（系數(shù)）是 \(W_{Rect}(n)\)，其寬度為 \(2N+1\)。
- \(F_N(t)\) 的傅里葉變換（系數(shù)）是 \(W_{Tri}(n)\)，其寬度為 \(2N+1\)。
- \(H_t(x)\) 的傅里葉變換是 \(\hat{H}_t(\xi) = e^{-4\pi^2 t \xi^2}\)，其寬度與 \(1/\sqrt{t}\) 成正比。

雖然咱看不出來(lái)這些，至少咱能看出來(lái)時(shí)域上越來(lái)越尖瘦了，頻域上則越來(lái)越寬且趨近于取值全1了

結(jié)論是：當(dāng)我們讓核函數(shù)在時(shí)域上越來(lái)越集中（\(N \to \infty\) 或 \(t \to 0\)）時(shí)，它們的傅里葉變換（即它們?cè)陬l域的形態(tài)）必然變得越來(lái)越分散（寬度 \(\to \infty\)）。

一個(gè)函數(shù)和它的傅里葉變換不能同時(shí)被任意地“壓縮”。

這就是海森堡不確定性原理（Heisenberg uncertainty principle）的數(shù)學(xué)本質(zhì)。如果我們用方差（Variance）來(lái)衡量一個(gè)歸一化函數(shù) \(\psi(x)\) 及其變換 \(\hat{\psi}(\xi)\) 的“寬度”或“集中度”：

\[(\Delta x)^2 = \int_{-\infty}^{\infty} (x-x_0)^2 |\psi(x)|^2 dx \]

\[(\Delta \xi)^2 = \int_{-\infty}^{\infty} (\xi-\xi_0)^2 |\hat{\psi}(\xi)|^2 d\xi \]

那么它們二者的乘積必然有一個(gè)嚴(yán)格的下限：

\[(\Delta x) \cdot (\Delta \xi) \ge \frac{1}{4\pi} \quad \text{ (注：具體常數(shù)取決于傅里葉變換的定義)} \]

這里的“傅里葉變換的定義”是指時(shí)域角頻率還是頻率。使用頻率時(shí)是上面提到的 \(\frac{1}{4\pi}\)，使用角頻率（量子力學(xué)一般用這個(gè)）則是 \(\frac{1}{2}\)

在所有函數(shù)中，只有高斯函數(shù)（即我們的熱核 \(H_t(x)\)）能夠取到這個(gè)不等式的最小值。從這個(gè)意義上說(shuō)，高斯核是在時(shí)域集中度和頻域集中度之間做出了“最好”權(quán)衡的核函數(shù)。

這個(gè)純粹的數(shù)學(xué)定律，在量子力學(xué)中成為了基石。因?yàn)橐粋€(gè)粒子的動(dòng)量波函數(shù)恰好是其位置波函數(shù)（通過(guò)普朗克常數(shù)關(guān)聯(lián)）的傅里葉變換。因此，這個(gè)數(shù)學(xué)限制直接導(dǎo)致了物理定律：我們無(wú)法同時(shí)精確測(cè)量一個(gè)粒子的位置（壓縮 \(\Delta x\)）和它的動(dòng)量（壓縮 \(\Delta p\)）。

其實(shí)還差一個(gè) \(\sqrt{\hbar}\)，角頻率下傅里葉變換需要對(duì)稱要在積分前乘上常數(shù) \(\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\)，量子力學(xué)里則是 \(\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}\)，并在后續(xù)的傅里葉變換公式內(nèi)的 \(e\) 的次方上做修改：\(e^{ipx/\hbar}\)（其實(shí)就是動(dòng)量和位置都除了個(gè)普朗克常數(shù)\(\hbar\)罷了：D

下面的推導(dǎo)個(gè)人不是很理解，但AI說(shuō)了那就是吧，這個(gè)應(yīng)該和海森堡不確定性原理沒(méi)啥關(guān)系

回到我們的分析中：

狄利克雷核 \(D_N(t)\)（Sinc函數(shù)）之所以在工程上表現(xiàn)不佳（高旁瓣/泄露），正是因?yàn)樗陬l域的“窗”（矩形窗）是“尖銳”的（不連續(xù)的）。這種時(shí)域（或頻域）的突變，必然導(dǎo)致其變換域的無(wú)限分散（Sinc函數(shù) \(1/t\) 的緩慢衰減）。
費(fèi)耶核 \(F_N(t)\)（Sinc平方函數(shù)）之所以表現(xiàn)更好（低旁瓣/泄露），是因?yàn)樗陬l域的“窗”（三角窗）是連續(xù)且平滑的。這種平滑性允許其變換域（時(shí)域）的能量更集中（\(1/t^2\) 的快速衰減）。

最終，我們對(duì) \(\delta\) 函數(shù)的所有近似（無(wú)論是數(shù)學(xué)家稱的“核”還是工程師稱的“窗”），都受制于這個(gè)根本的不確定性原理。

參考文獻(xiàn)與鏈接

如果是學(xué)信號(hào)與系統(tǒng)的同學(xué)，很推薦去看看Stein的Fourier Analysis: An Introduction，不用讀完，看到二維的傅里葉分析之前就行，對(duì)理解很有幫助。
小時(shí)百科上對(duì)狄拉克函數(shù)的嚴(yán)謹(jǐn)定義則是寫(xiě)本文的緣由。如果沒(méi)有那個(gè)嚴(yán)謹(jǐn)定義也不會(huì)有類似散文一樣有想到哪寫(xiě)到哪的行文思路的本文。

Stein, E. M., & Shakarchi, R. (2003). Fourier Analysis: An Introduction. Princeton University Press.
小時(shí)百科 (wuli.wiki). (n.d.). Delta 函數(shù). https://wuli.wiki/online/Delta.html

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