感覺應該把 Daily Prob 系列改名級數求和系列。

以下提到 boder 的時候均忽略長度等于原串的 boder。
定義函數 \(f(x)\)，當 \(x\) 的十進制表示存在 boder 的時候，\(f(x) = 1\)，否則 \(f(x) = 0\)。
例如，\(f(123123) = 1\)，\(f(1231) = 1\)，\(f(1234) = 0\)。

判斷以下兩個函數的斂散性：

（即存在 boder 的數的倒數和、不存在 boder 的數的倒數和）

首先看第一個，\(\sum \limits _{k = 1} ^{+\infin} \frac{f(x)}{x}\)。

我們只考慮最高位和最低位相同的數。這部分不超過 \(\sum \limits _{k = 1} ^{+\infin} \frac{1}{100k}\)，所以這個級數是發散的。

然后看第二個，\(\sum \limits _{k = 1} ^{+\infin} \frac{1 - f(x)}{x}\)。
使用經典的分組求和技巧，我們考察所有長度為 \(n\) 的數。
其中，有長度為 \(k\) 的 boder 的數剛好有 \(10^{n - k}\) 個。
那么沒有 boder 的數的個數則不少于 \(10^n - \sum \limits_{k = 1}^{n} 10^{n - k} > 9 \times 10^{n - 1}\)。
而長為 \(n\) 的數的倒數不會小于 \(\frac{1}{10^{n+1}}\)。
所以這部分的和不會小于 \(\frac{9}{100}\)。

綜上，我們知道該級數發散。

掛一個直覺領域大蛇。